[논문 리뷰] Koopman Operator Spectrum and Data Analysis

Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 22.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 13인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 쿠퍼만 연산자 이론을 사용하여 비선형 동역계 시스템에 대한 스펙트럼 프레임워크를 개발하며, 안정, 불안정 및 중심 다각형을 영수준 집합을 통해 특성화하기 위해 일반화되고 개방된 고유함수를 도입한다. 한편, 제한 순환과 토러스를 가진 시스템에 대해 모odulated Fock 공간을 사용하여 스펙트럼 전개를 수립함으로써 데이터 분석을 위한 새로운 정의의 등온선과 일관된 주요 차원을 제시한다.

ABSTRACT

We examine spectral operator-theoretic properties of linear and nonlinear dynamical systems with globally stable attractors. Using the Kato Decomposition we develop a spectral expansion for general linear autonomous dynamical systems with analytic observables, and define the notion of generalized eigenfunctions of the associated Koopman operator. We interpret stable, unstable and center subspaces in terms of zero level sets of generalized eigenfunctions. We then utilize conjugacy properties of Koopman eigenfunctions and the new notion of open eigenfunctions - defined on subsets of state space - to extend these results to nonlinear dynamical systems with an equilibrium. We provide a characterization of (global) center manifolds, center-stable and center-unstable manifolds in terms of joint zero level sets of families of Koopman operator eigenfunctions associated with the nonlinear system.After defining a new class of Hilbert spaces, that capture the on and off attractor properties of dissipative dynamics, and introduce the concept of Modulated Fock Spaces}, we develop spectral expansions for a class of dynamical systems possessing globally stable limit cycles and limit tori, with observables that are square-integrable in on-attractor variables and analytic in off-attractor variables. We discuss definitions of stable, unstable and global center manifolds in such nonlinear systems with (quasi)-periodic attractors in terms of zero level sets of Koopman operator eigenfunctions. We define the notion of isostables for a general class of nonlinear systems. We provide a simple example of a measure-preserving system that is not chaotic but has continuous spectrum, and discuss experimental observations of spectrum on such systems. We define the coherent principal dimension for a class of datasets based on the lattice-type principal spectrum of the associated Koopman operator.

연구 동기 및 목표

• 선형 동역계에서의 스펙트럼 분해를 전역적으로 안정한 평형점을 갖는 비선형 동역계로 확장하기 위해 쿠퍼만 연산자 이론을 적용한다.
• 쿠퍼만 고유함수의 공동 영수준 집합을 통해 중심, 중심-안정 및 중심-불안정 다각형을 특성화한다.
• 흡수성 시스템에서의 상-연속 및 비상-연속 동역학을 캡처하는 새로운 힐버트 공간 클래스인 모odulated Fock 공간을 정의한다.
• 쿠퍼만 고유함수의 영수준 집합을 사용하여 (준)주기적 궤도를 갖는 비선형 시스템으로 등온선의 개념을 일반화한다.
• 쿠퍼만 연산자의 격자형 주요 스펙트럼을 기반으로 한 일관된 주요 차원 측도를 도입하여 데이터 분석에 활용한다.

제안 방법

• 해석적 관측량을 갖는 선형 비동차 시스템에 대해 카토 분해를 적용하여 스펙트럼 전개를 유도한다.
• 선형 시스템에서의 스펙트럼 분해의 해로써 쿠퍼만 연산자의 일반화된 고유함수를 도입한다.
• 상태공간의 부분집합에서 정의된 개방 고유함수를 도입하여 평형점을 갖는 비선형 시스템으로 스펙트럼 이론을 확장한다.
• 쿠퍼만 고유함수의 공액성 성질을 활용하여 선형 및 비선형 시스템의 동역학을 연결한다.
• 제한 순환과 토러스를 갖는 시스템에 대한 스펙트럼 전개를 지원하기 위해 모odulated Fock 공간을 구성한다.
• 쿠퍼만 고유함수의 수준 집합으로서 등온선을 정의하여 비선형 및 (준)주기적 시스템으로 개념을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿠퍼만 연산자의 스펙트럼 분해는 어떻게 선형 시스템에서 평형점을 갖는 비선형 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 쿠퍼만 고유함수의 영수준 집합은 비선형 시스템에서 안정, 불안정 및 중심 다각형을 어떻게 특성화하는가?
• RQ3 흡수성 시스템에서 상-연속 및 비상-연속 동역학을 모두 캡처할 수 있는 힐버트 공간은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 비혼돈적, 측도를 보존하는 시스템에서 연속 스펙트럼의 역할은 무엇이며, 관측 가능한 동역학과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 쿠퍼만 연산자의 격자형 주요 스펙트럼은 데이터셋에 대한 일관된 주요 차원을 정의하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화되고 개방된 고유함수를 사용하여 쿠퍼만 연산자의 스펙트럼 분해가 평형점을 갖는 비선형 시스템으로 확장된다.
• 선형 시스템에서 안정, 불안정 및 중심 부분공간은 일반화된 고유함수의 영수준 집합으로 해석된다.
• 비선형 시스템에서 중심, 중심-안정 및 중심-불안정 다각형은 쿠퍼만 고유함수의 집합의 공동 영수준 집합으로 특성화된다.
• 모odulated Fock 공간은 제한 순환과 토러스를 갖는 시스템에 대한 스펙트럼 전개를 지원하는 새로운 힐버트 공간 클래스로 도입된다.
• 등온선은 쿠퍼만 고유함수의 수준 집합으로 일반화된 비선형 시스템의 일반적인 클래스에 대해 정의되며, 선형 또는 평형 시스템을 넘어서 개념을 일반화한다.
• 쿠퍼만 연산자의 주요 스펙트럼의 격자형 구조를 기반으로 한 일관된 주요 차원이 정의되며, 이는 데이터 기반 차원 축소를 가능하게 한다.