[논문 리뷰] Koopman Representations of Dynamic Systems with Control

Craig Bakker, W. Steven Rosenthal외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 06.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비선형 제어 동역계의 선형적이고 데이터 기반의 모델링을 가능하게 하기 위해 상태와 제어 입력을 동시에 관측하는 하이브리드 쿠프만 표현을 제안한다. 유도된 제약 조건을 통해 역학적 일致성을 확보함으로써, 이전의 제안들과 비교해 더 넓은 범주를 다룰 수 있으며, 상태 및 제어 입력에 독립적인 쿠프만 연산자를 유지함으로써 더 낮은 모델 오차를 갖는 효과적인 선형 제어 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The design and analysis of optimal control policies for dynamical systems can be complicated by nonlinear dependence in the state variables. Koopman operators have been used to simplify the analysis of dynamical systems by mapping the flow of the system onto a space of observables where the dynamics are linear (and possibly infinte). This paper focuses on the development of consistent Koopman representations for controlled dynamical system. We introduce the concept of dynamical consistency for Koopman representations and analyze several existing and proposed representations deriving necessary constraints on the dynamical system, observables, and Koopman operators. Our main result is a hybrid formulation which independently and jointly observes the state and control inputs. This formulation admits a relatively large space of dynamical systems compared to earlier formulations while keeping the Koopman operator independent of the state and control inputs. More generally, this work provides an analysis framework to evaluate and rank proposed simplifications to the general Koopman representation for controlled dynamical systems.

연구 동기 및 목표

• 비선형적 의존성이 최적 제어 설계를 복잡하게 만드는 제어 동역계에 쿠프만 연산자 이론을 적용하는 데 도전하는 것.
• 이산 및 연속 시간 시스템에 대한 제어 입력을 고려한 쿠프만 표현의 역학적 일치 조건을 정의하고 체계화하는 것.
• 일반적인 제어 동역계를 모델링할 수 있는 능력, 특히 모델 오차 없이 표현 가능한 능력에 기반해 기존 및 제안된 쿠프만 표현 방식을 평가하고 순위를 매기는 것.
• 상태 및 제어 입력을 독립적이고 동시에 관측하는 하이브리드 쿠프만 표현을 개발하여 더 넓은 일반성과 함께 상태 및 제어 입력에 독립적인 쿠프만 연산자를 유지하는 것.

제안 방법

• 쿠프만 표현이 제어 동역계의 흐름을 정확히 포착할 수 있는지 평가하기 위한 일치 조건 프레임워크를 도입한다.
• 이산 및 연속 시간 표현 모두에 대해 시스템 역학, 관측 변수, 쿠프만 연산자에 대한 필수 제약 조건을 유도한다.
• 관측 변수가 상태 $x$와 제어 $u$의 함수인 하이브리드 쿠프만 표현을 제안하며, 일致성을 확보하기 위해 $\psi_{xu}(x,0) = 0$ 조건을 부여한다.
• 제어에 의존하는 역학을 쿠프만 연산자와 연결하기 위해 조건 $\psi_{xu}(x,u) = (K(u) - K(0))\psi_x(x)$ 를 사용한다. 이는 상태 포함 관측 변수를 가능하게 한다.
• 기존 표현 방식(예: Williams 등 [7], Proctor 등 [6])을 이 프레임워크 내에서 분석하여 일반성과 제약 조건을 비교한다.
• 상태 포함 관측 변수에만 의존하는 표현 방식(예: 식 (23))은 모든 $x,u$에 대해 $G(x)f(u) = 0$ 를 만족해야 하는 강력한 제약 조건을 유도하며, 이는 제어 입력이 $G(x)$ 의 영공간에 있어야만 가능한 제약을 초래한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 및 연속 시간 모두에서 어떤 조건을 만족해야 쿠프만 표현이 제어 동역계의 흐름을 정확히 표현할 수 있는가?
• RQ2 기존의 제어를 위한 쿠프만 표현 방식은 상태에 의존하는 제어 입력을 갖는 비선형 시스템을 표현하는 데 얼마나 다른 능력을 갖는가?
• RQ3 쿠프만 표현에서 상태 포함 관측 변수를 사용할 경우 어떤 제약 조건이 발생하며, 이는 시스템의 일반성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 상태와 제어 입력을 동시에 관측하는 하이브리드 표현 방식은 쿠프만 연산자가 상태 및 제어 입력에 독립적임을 유지하면서 더 넓은 표현 능력을 달성할 수 있는가?
• RQ5 다양한 표현 방식을 사용할 경우 쿠프만 기반 제어에서 계산 효율성과 모델 정밀도 사이의 상충 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 상태 및 제어 입력을 독립적이고 동시에 관측하는 하이브리드 표현 방식은 이전의 제안들보다 훨씬 더 넓은 범주의 동역계를 수용할 수 있으며, 상태 및 제어 입력에 독립적인 쿠프만 연산자를 유지한다.
• 상태 포함 관측 변수에만 의존하는 표현 방식(예: 식 (23))은 모든 $x,u$에 대해 $G(x)f(u) = 0$ 를 만족해야 하며, 이는 제어 입력이 $G(x)$ 의 영공간에 있어야만 가능한 강력한 제약 조건을 초래하여 적용 범위를 제한한다.
• Williams 등 [7]의 표현 방식은 제안된 하이브리드 프레임워크의 특수한 경우임을 입증하였으며(식 (45)), 비선형 제어 의존성과 더 넓은 일반성을 가능하게 한다.
• 일치 조건 (93)과 (94)는 쿠프만 표현이 모델 오차 없이 진짜 시스템 역학을 포착할 수 있는지를 평가하기 위한 공식적 프레임워크를 제공한다.
• 데이터 기반의 쿠프만 연산자 근사치는 본질적으로 오차를 포함하며, 더 제약이 적은 표현 방식(예: 하이브리드 접근)을 사용할 경우 이러한 오차를 더 잘 유지할 수 있다.
• 제안된 프레임워크는 역학적 일치성과 표현 능력에 기반해 쿠프만 표현을 체계적으로 평가하고 순위를 매길 수 있도록 한다.