[논문 리뷰] Korovkin-type Theorems and Approximation by Positive Linear Operators

Francesco Altomare|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 14.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 79인용 수 95

한 줄 요약

이 종합 논문은 근사 이론에서 코로브킨 유형 정리에 대한 체계적이고 자가 포함적인 소개를 제공하며, 연속 함수 공간과 L^p 함수 공간에서 양의 선형 연산자의 항등 연산자로의 수렴에 중점을 둔다. 고전적 결과를 통합하고 국소적으로 컴팩트한 공간과 가중치가 있는 공간으로 확장하며, 지지 조건과 흐린 수렴을 통한 이산 라돈 측도의 새로운 특성화를 수립한다.

ABSTRACT

This survey paper contains a detailed self-contained introduction to Korovkin-type theorems and to some of their applications concerning the approximation of continuous functions as well as of L^p-functions, by means of positive linear operators. The paper also contains several new results and applications. Moreover, the organization of the subject follows a simple and direct approach which quickly leads both to the main results of the theory and to some new ones.

연구 동기 및 목표

• 근사 이론 및 함수해석학 분야의 연구자들에게 코로브킨 유형 정리를 통합적이고 접근 가능한 방식으로 소개하기 위해.
• 고전적 코로브킨 정리를 단위 구간을 넘어서 국소적으로 컴팩트한 공간과 가중치가 있는 함수 공간으로 확장하기 위해.
• 지지 조건과 양의 시험 함수를 이용한 이산 라돈 측도의 새로운 특성화를 수립하기 위해.
• 양의 선형 연산자가 연속 함수와 L^p 함수의 근사에 어떻게 활용되는지 탐구하기 위해.
• 양의 프로젝션과 그 수렴 성질이 디리클레 유형 문제의 해를 구하는 데 어떻게 기여하는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 메트릭 공간에서의 통합 결과로부터 코로브킨의 첫 번째 및 두 번째 정리를 유도하여 다차원 확장을 가능하게 한다.
• 베르슈타인, 칸토로비치, 페이저, 셰아스-미라크얀, 가우스-바이어슈트르 연산자와 같은 고전적 연산자에 이 те론을 적용한다.
• 국소적으로 컴팩트한 공간과 컴팩트 공간에 대해 C_0(X)와 C(X)에서 양의 선형 연산자의 수렴을 판단하기 위해 코로브킨 집합의 개념을 사용한다.
• 시험 함수가 0이 되는 집합에서의 0이 되는 성질을 통해 지지 기반의 라돈 측도 특성화를 도입한다.
• 유리소른의 보조정리와 컴팩트성 추론을 활용하여 특정 점에서 0이 되고 측도가 0이 되는 조건을 만족하는 시험 함수를 구성한다.
• 특히 분리 가능 조건이 성립할 경우, C_0(X)의 쌍대공간에서의 약한 수렴을 기반으로 하여 라돈 측도의 흐린 수렴을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C_0(X) 또는 C(X)에서 양의 선형 연산자 수열이 항등 연산자로 강한 수렴을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ2 다양한 함수 공간에서 양의 연산자의 수렴을 보장하기 위해 유한한 수의 시험 함수(코로브킨 집합)에 대해서만 테스트하면 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 양의 연속 함수로 정의된 특정 부분집합에서 0이 되는 성질을 갖는 라돈 측도는 어떻게 특성화되는가?
• RQ4 C(X) 위의 양의 프로젝션은 디리클레 문제의 해 근사와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 어떤 설정에서 라돈 측도의 흐린 수렴이 약한 수렴을 의미하는가? 그리고 유계인 양의 측도 수열이 흐린 수렴하는 부분수열을 갖는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 코로브킨의 첫 번째 및 두 번째 정리는 웨이어슈트라스 근사 정리의 대수적 및 삼각함수적 형태와 동치이다.
• C_0(X)에서 양의 선형 연산자 수열이 항등 연산자로 강한 수렴을 보일 조건은, 점들을 분리하고 무한에서 0이 되는 코로브킨 집합에서 수렴할 때에 한하여 성립한다.
• 이산 라돈 측도는 그 원소가 없는 컴팩트 집합에서의 적분이 0이 되는 성질을 갖는다.
• 공간 X에 있는 유한한 점들의 집합이 주어졌을 때, 양의 라돈 측도가 정확히 그 점들 위에 지지되고 이산적일 조건은, 그 점들에서 0이 되고 나머지 곳에서는 양수인 모든 연속함수에서 0이 되는 경우에 한하여 성립한다.
• 가чёт 기반을 갖는 국소적으로 컴팩트한 공간에서, 양의 라돈 측도 공간의 모든 유계 수열은 어떤 극한 측도로 흐린 수렴하는 부분수열을 갖는다.
• 양의 라돈 측도 μ의 지지는 μ(f) = 0이 되는 모든 f ∈ C_0(X)가 Y에서 0이 되는 최소의 닫힌 집합 Y이다.