[논문 리뷰] $L^2$-type contraction for shocks of scalar viscous conservation laws with strictly convex flux

Moon-Jin Kang|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 09.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 엄밀히 볼록인 비선형 흐름을 가진 스칼라 보존법칙에서 점탄성 충격파 주위의 큰 외란에 대해 $L^2$-유형 수축을 가중 상대 엔트로피 프레임워크를 사용하여 확립한다. 적절한 엄밀히 볼록 엔트로피를 구성하고 이동 불변 수축 추정을 적용함으로써, 이는 이전에 버거스 유형의 흐름에 국한되어 있던 결과를 초월하여 일반적인 엄밀히 볼록 흐름에 대해 작은 진폭의 충격파의 안정성을 입증하며, 점탄성 보존법칙에 대한 상대 엔트로피 방법의 핵심적 간극을 메운다.

ABSTRACT

We study the $L^2$-type contraction property of large perturbations around shock waves of scalar viscous conservation laws with strictly convex fluxes in one space dimension. The contraction holds up to a shift, and it is measured by a weighted related entropy, for which we choose an appropriate entropy associated with the strictly convex flux. In particular, we handle shocks with small amplitude. This result improves the recent article [18] of the author and Vasseur on $L^2$-contraction property of shocks to scalar viscous conservation laws with a special flux, that is almost the Burgers flux.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 엄밀히 볼록 흐름을 가진 스칼라 보존법칙에서 점탄성 충격파 주위의 큰 외란에 대해 $L^2$-유형 수축을 확립하는 것.
• 이전 결과가 버거스 흐름에 가까운 경우(이차형이며 소규모 외란이 있는 경우)에만 적용되었던 제한을 극복하는 것.
• 쿠즈코프의 $L^1$ 이론에서 사용하는 엔트로피의 가족 대신 단일의 철저히 선택된 엔트로피 함수를 사용하여 강력한 수축 프레임워크를 개발하는 것.
• 흐름의 볼록성에 맞게 조정된 가중 함수를 사용하여 상대 엔트로피 방법을 통해 작은 진폭의 충격파의 안정성을 입증하는 것.
• 논문 [18]의 결과를 모든 엄밀히 볼록 흐름으로 일반화하기 위해, 흐름에 따라 변하는 엔트로피와 가중 함수를 도입함으로써 수축 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 흐름 $f(u)$와 관련된 엄밀히 볼록 엔트로피 $\theta(u)$를 구성하여 $\theta''(u) \to \text{const} > 0$ 이며 균일하게 유지되도록 보장한다.
• 충격 프로파일 $S(x - \bar{\rho}t)$ 과 도함수 $\theta'(u)$ 를 기반으로 한 가중 함수 $\rho(x,t)$ 를 도입하여 상대 엔트로피를 충격 근처에 국한시킨다.
• 엔트로피 $\theta$ 를 사용한 상대 엔트로피 방법을 적용하여 솔루션과 충격 사이의 거리를 직접 $L^2$-노름을 쓰는 대신 $L^2$-유형으로 측정한다.
• 외란이 있는 솔루션을 충격 프로파일과 정렬하기 위해 이동 함수 $\bar{\rho}(t)$ 를 도입하여 가중 상대 엔트로피를 최소화한다.
• 큰 값의 $|\theta'(u) - \theta'(S)|$ 를 제어하기 위해 절단 기법을 구현하여 에너지-소산 균형에서 균일한 추정을 가능하게 한다.
• 가중 상대 엔트로피에 대한 미분 부등식을 유도하여, 흐름의 엄밀한 볼록성과 소규모 진폭 조건 하에서 시간이 지남에 따라 가중 상대 엔트로피가 감소함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 엄밀히 볼록 흐름을 가진 스칼라 보존법칙에서 점탄성 충격파에 대해, 버거스 유사 흐름이 아닌 경우에도 $L^2$-유형 수축을 확립할 수 있는가?
• RQ2 다양한 엔트로피의 가족 대신 단일 엔트로피 함수만을 사용하여 $L^2$-유형 안정성의 수축을 달성할 수 있는가?
• RQ3 상대 엔트로피 방법은 어떻게 일반적인 엄밀히 볼록 흐름을 가진 소규모 진폭의 충격파 주위의 큰 외란을 다룰 수 있는가?
• RQ4 엔트로피의 선택이 다양한 흐름 함수에 걸쳐 수축 추정이 균일하게 유지되도록 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 흐름에 맞게 조정된 가중 함수를 사용하는 가중 상대 엔트로피 프레임워크는 점탄성 충격파에 대해 $L^2$-유형 수축을 안정화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 엄밀히 볼록 흐름을 가진 스칼라 보존법칙에서 소규모 진폭의 점탄성 충격파 주위의 큰 외란에 대해 $L^2$-유형 수축을 입증한다.
• 수축은 외란이 있는 솔루션을 충격 프로파일과 정렬시키는 시간에 따라 변하는 이동 $ar{\rho}(t)$ 까지 허용되며, 이는 정렬 조건을 만족시킨다.
• 수축은 흐름 $f(u)$ 와 관련된 엄밀히 볼록 엔트로피 $\theta(u)$ 를 사용하여 정의된 가중 상대 엔트로피를 통해 측정되며, 국소적인 2차 행동을 보장한다.
• 쿠즈코프의 $L^1$ 이론에서 사용하는 다수의 엔트로피가 필요로 하는 것을 피하고, 단일의 흐름에 맞춘 엔트로피를 사용하여 $L^2$-유형 안정성을 달성한다.
• 핵심 추정은 가중 상대 엔트로피가 시간이 지남에 따라 감소함을 보여주는 미분 부등식이며, 감쇠 속도는 흐름의 엄밀한 볼록성과 충격의 소규모 진폭에 의해 제어된다.
• 이 결과는 이전에 버거스의 흐름에 가까운 경우에만 적용되었던 [18]의 결과를 초월하여, 새로운 엔트로피-가중 전략을 통해 모든 엄밀히 볼록 흐름으로 $L^2$-수축을 일반화하고 향상시켰다.