[논문 리뷰] L-Dunford-Pettis property in Banach spaces

Abderrahman Retbi, Bouazza El Wahbi|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 02.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 L-Dunford-Pettis 집합의 상대적 약한 컴팩트성에 의해 정의되는 L-Dunford-Pettis 성질을 도입한다. 이 성질은 약하게 컴팩트인 연산자들이 ℓ∞로 가는 경우에 Dunford-Pettis 완전 연속 연산자들과 일치할 조건을 특성화하며, X가 L-Dunford-Pettis 성질을 갖는다하나, W(X,ℓ∞)가 DPcc(X,ℓ∞)에 보완 가능하다고 할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the concept of L-Dunford-Pettis sets and L-Dunford-Pettis property in Banach spaces. Next, we give a characterization of the L-Dunford-Pettis property with respect to some well-known geometric properties of Banach spaces. Finally, some complementability of operators on Banach spaces with the L-Dunford-Pettis property are also investigated

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간의 쌍대공간에서 L-Dunford-Pettis 집합의 개념을 도입하고 연구한다.
• 모든 L-Dunford-Pettis 집합이 상대적으로 약하게 컴팩트인 조건으로서 L-Dunford-Pettis 성질을 정의한다.
• 특히 DPcc 및 약하게 컴팩트 연산자 클래스에 대해 L-Dunford-Pettis 성질을 특성화한다.
• X에서 ℓ∞로의 약하게 컴팩트 연산자들의 보완 가능성에 대해 연구한다.
• 기하학적 및 연산자 이론적 성질을 사용하여 L-Dunford-Pettis 성질의 등가 특성화를 수립한다.

제안 방법

• X′의 부분집합 A ⊂ X′를 L-Dunford-Pettis 집합이라 정의한다. 이는 X에서의 약하게 영이 되는 모든 수열 (xn)이 A 위에서 균일하게 0으로 수렴하는 노름 유계 집합이다.
• X′ 내의 모든 L-집합이 L-Dunford-Pettis 집합임을 증명하며, X′의 상대적으로 약하게 컴팩트인 부분집합들도 L-Dunford-Pettis 집합임을 보인다.
• DP 집합에서의 균일 수렴을 통한 DPcc 연산자의 특성화를 이용하여 L-Dunford-Pettis 성질과 연산자 클래스 간의 관계를 규명한다.
• ℓ∞에서의 영 수열에 관한 보조정리 2.12를 적용하여 ℓ∞로의 연산자들의 구조와 그 보완 가능성 분석을 수행한다.
• X′에서의 약하게 수렴하지 않는 수열을 이용해 반례 연산자 S: X → ℓ∞를 구성함으로써, L-Dunford-Pettis 성질이 실패할 경우 보완 가능성의 부재를 보여준다.
• 제한 사상과 수반 연산자를 사용하여 DPcc(X,ℓ∞)의 구조를 W(X,ℓ∞)의 구조와 연결하고, 보조정리 2.14에서 등가성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 바나흐 공간의 쌍대공간에서 모든 L-Dunford-Pettis 집합이 상대적으로 약하게 컴팩트인가?
• RQ2 L-Dunford-Pettis 성질은 Dunford-Pettis 성질 및 Grothendieck 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 X에서 ℓ∞로의 약하게 컴팩트 연산자 공간이 DPcc 연산자 공간에서 보완 가능한가?
• RQ4 분리 가능 부분공간과 수열은 L-Dunford-Pettis 성질의 특성화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 언제 W(X,ℓ∞)와 DPcc(X,ℓ∞)의 클래스가 일치하는가?

주요 결과

• 바나흐 공간 X가 L-Dunford-Pettis 성질을 갖는다할지라도, X′ 내의 모든 L-Dunford-Pettis 집합이 상대적으로 약하게 컴팩트임과 동치이다.
• L-Dunford-Pettis 성질은 Y = ℓ∞일 때, 모든 DPcc 연산자 T: X → Y가 약하게 컴팩트임과 동치이다.
• X가 L-Dunford-Pettis 성질을 갖지 않으면, W(X,ℓ∞)는 DPcc(X,ℓ∞)에 보완 가능하지 않다.
• W(X,ℓ∞)가 DPcc(X,ℓ∞)에 보완 가능하다는 것은 X가 L-Dunford-Pettis 성질을 갖는다와 동치이다.
• L-Dunford-Pettis 성질은 ℓ∞로의 모든 약하게 컴팩트 연산자가 DPcc임을 함의하며, 이 성질이 성립할 경우 그 역도 성립한다.
• L-Dunford-Pettis 성질은 DPrcP 성질을 갖는 바나흐 공간과 반사 공간을 연산자 클래스를 통해 새로운 특성화로 제공한다.