[论文解读] $L_p$-Brunn-Minkowski inequality for $p\in (1-\frac{c}{n^{\frac{3}{2}}}, 1)$

Shibing Chen, Yong Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文建立了全局 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式，其中 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$，通过 PDE 方法（包括先验估计、Schauder 理论和 Leray-Schauder 型度理论）将 Kolesnikov 与 Milman 的局部结果推广至全局情形。关键贡献在于建立了全局 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式，以及在 $C^\alpha$ 偶密度条件下对 $L_p$-Minkowski 问题与对数 Minkowski 问题的两个唯一性结果。

ABSTRACT

Kolesnikov-Milman [9] established a local $L_p$-Brunn-Minkowski inequality for $p\in(1-c/n^{\frac{3}{2}},1).$ Based on their local uniqueness results for the $L_p$-Minkowski problem, we prove in this paper the (global) $L_p$-Brunn-Minkowski inequality. Two uniqueness results are also obtained: the first one is for the $L_p$-Minkowski problem when $p\in (1-c/n^{\frac{3}{2}}, 1)$ for general measure with even positive $C^α$ density, and the second one is for the Logarithmic Minkowski problem when the density of measure is a small $C^α$ even perturbation of the uniform density.

研究动机与目标

• 将 Kolesnikov 与 Milman 关于 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 的局部 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式推广为全局版本。
• 在 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 且测度具有偶正 $C^\alpha$ 密度的条件下，建立 $L_p$-Minkowski 问题的全局唯一性。
• 当测度为均匀测度的小 $C^\alpha$ 偶扰动时，证明对数 Minkowski 问题的唯一性。
• 展示 $L_p$-Minkowski 问题的局部唯一性结果可通过局部到全局原理推出全局 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式。

提出的方法

• 将 PDE 技术——特别是先验估计、Schauder 理论和 Leray-Schauder 型度理论——应用于将局部 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式推广为全局形式。
• 利用 Kolesnikov 与 Milman 在小 $C^2$ 邻域内对 $L_p$-Minkowski 问题的局部唯一性结果，通过度理论构造全局解。
• 在支撑函数 $h_K$ 上应用 Monge-Ampère 方程框架，推导出方程 $\det(\nabla^2 h_K + h_K \delta_{ij}) = \frac{f}{h_K}$，其中 $f$ 为锥体积测度的密度。
• 对 $h_L - 1$ 的一致椭圆方程应用 Schauder 估计，以在单位球的小扰动下控制 $C^{2,\alpha}$ 范数。
• 利用 Blaschke 选择定理与锥体积测度的弱收敛性，在非唯一性情况下导出矛盾。
• 依赖于 Boroczky 等人 [1] 建立的 $L_p$-Minkowski 不等式与 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 时的局部 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式推广为所有关于原点对称凸体的全局不等式？
• RQ2 当 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 且测度具有偶正 $C^\alpha$ 密度时，$L_p$-Minkowski 问题的解是否唯一？
• RQ3 当测度为均匀测度的小 $C^\alpha$ 偶扰动时，对数 Minkowski 问题是否具有唯一解？
• RQ4 $L_p$-Minkowski 问题的局部唯一性结果是否可通过局部到全局原理推出全局 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式？

主要发现

• 全局 $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式对所有 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 成立，其中 $c$ 为绝对常数，且对所有关于原点对称的凸体 $K, L \in \mathcal{K}_e$ 成立。
• 当 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 时，对任意偶正 $C^\alpha$ 密度 $f$，$L_p$-Minkowski 问题存在唯一解 $K \in \mathcal{K}_e$，满足 $h_K^{1-p} dS_K = f dx$。
• 当测度为均匀测度的小 $C^\alpha$ 偶扰动时，对数 Minkowski 问题存在唯一解。
• $L_p$-Brunn-Minkowski 不等式与 $L_p$-Minkowski 不等式等价，且两者均在 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 范围内全局成立。
• 证明依赖于一个局部到全局原理：若在 $p$ 的邻域内局部唯一性结果一致成立，则可推出全局不等式。
• 作者在单位球的小扰动下导出了解的统一 $C^{2,\alpha}$ 估计，从而保证了解空间中的正则性与紧致性。