[논문 리뷰] Lagrangian cobordism in Lefschetz fibrations

Paul Biran, Octav Cornea|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 음의 끝을 가진 Lefschetz fibration에서의 Lagrangian cobordism에 대한 분해 정리를 수립하며, 이들이 유도된 Fukaya 카테고리의 대상을 생성함을 증명한다. 이는 Dehn 회전에서 유래하는 관계와 영이 아닌 피브리케이션에서 유래하는 관계라는 두 가지 알려진 유형의 Lagrangian 부분다양체 간의 관계를 통합하며, Lefschetz fibration 내 공통된 기하적 프레임워크에서 이들이 유도됨을 보여준다.

ABSTRACT

Given a symplectic manifold $(M^{2n},ω)$ we study Lagrangian cobordisms $V\subset E$ where $E$ is the total space of a Lefschetz fibration having $M$ as generic fiber. We prove a generation result for these cobordisms in the appropriate derived Fukaya category. As a corollary, we analyze the relations among the Lagrangian submanifolds $L\subset M$ that are induced by these cobordisms. This leads to a unified treatment - and a generalization - of the two types of relations among Lagrangian submanifolds of $M$ that were previously identified in the literature: those associated to Dehn twists that were discovered by Seidel and the relations induced by cobordisms in trivial symplectic fibrations described in our previous work.

연구 동기 및 목표

• 음의 끝을 가진 Lefschetz fibration 내에서의 Lagrangian cobordism에 대한 분해 결과를 유도된 Fukaya 카테고리 내에서 수립하는 것.
• 심플렉틱 다양체 내에서 Lagrangian 부분다양체 간의 두 가지 다른 유형의 관계를 통합하는 것: Seidel의 Dehn 회전에서 유래한 관계와 저자들이 이전에 연구한 영이 아닌 피브리케이션 내 cobordism에서 유래한 관계.
• 유도된 Fukaya 카테고리의 프레임워크를 단조성 Lagrangian cobordism을 포함하도록 편의성 있는 Lefschetz fibration에 확장하는 것.
• 유도된 Fukaya 카테고리의 섬세한 섬세한 다양체의 Grothendieck 군이 cobordism 유도 Lagrangian의 이미지에 의해 생성됨을 보여주는 것.
• cobordism 분해와 평행 이동을 통해 유도된 Fukaya 카테고리 내 정확한 삼각형의 기하적 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• 기본적으로 $\mathbb{C}$로 향하는 편의성 있는 Lefschetz 피브리케이션 $\pi: E \to \mathbb{C}$의 총공간 $E$에 대해, $\mathbb{Z}_2$ 계수를 가진 유니버설 Novikov 링 $\mathcal{A}$ 위의 $A_\infty$-카테고리들을 사용하여 $D\mathcal{F}uk^*(E)$라는 유도된 Fukaya 카테고리를 구성하는 것.
• 기본 $\mathbb{C}$로의 사영이 $(-\infty, a_i] \times \{i\}$의 반사합으로서 나타나는 임베딩된 Lagrangian으로서 음의 끝을 가진 Lagrangian cobordism $V \subset E$를 정의하고, $\mathcal{L}^*(E)$를 통해 단조성 조건을 도입하는 것.
• 기본 공간 $\mathbb{C}$ 내 경로를 따라 평행 이동을 사용하여 서로 다른 섬세한 다양체 내 Lagrangian을 연결하는 것. 특히 퇴색 순환과 매칭 순환을 운반하는 것.
• 각 Lagrangian에 대해 Yoneda 임bedding을 적용하여 모듈 $\mathcal{Y}(L)$를 할당하고, $D\mathcal{F}uk^*(M)$ 내에서 cobordism에 의해 유도된 대상을 분해하기 위해 코ーン 구성법을 사용하는 것.
• $\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1$에서 모든 Lagrangian 구면이 Hamiltionian 동치임을 이용하여, 운반된 Lagrangian과 반대대각선 $S$ 사이의 동치를 식별하는 것.
• 도형-Y 수술 구성과 cobordism 분해를 사용하여 정확한 삼각형을 유도하며, 특히 $D\mathcal{F}uk^*(M)$ 내에서 $T \cong \textnormal{cone}(S \to S)$임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lefschetz fibration 내 Lagrangian cobordism은 어떻게 유도된 Fukaya 카테고리 내에서 체계적으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 cobordism에 의해 유도된 관계와 두 가지 알려진 유형의 Lagrangian 관계—Dehn 회전 관계와 영이 아닌 피브리케이션 내 cobordism 관계—간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 유도된 Fukaya 카테고리의 섬세한 다양체가 평행 이동에 의해 유도된 cobordism의 이미지에 의해 생성될 수 있는가?
• RQ4 $D\mathcal{F}uk^*(\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1)$ 내에서 $T \cong \textnormal{cone}(S \to S)$의 동치에서, 사상 $S \to S$의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ5 Lefschetz 피브리케이션 내 임계점의 수와 위치의 변화가 유도된 cobordism의 위상수학적 성질과 단조성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 편의성 있는 Lefschetz 피브리케이션 내에서 모든 단조성 음의 끝을 가진 Lagrangian cobordism은 유도된 Fukaya 카테고리 $D\mathcal{F}uk^*(E)$ 내에서 대상을 생성하며, 이는 분해 결과를 수립한다.
• $D\mathcal{F}uk^*(\Sigma^{(\lambda_1)})$ 내에서 $S^{(\lambda_1)} \cong \textnormal{cone}(S_1 \otimes E \to L^{(\lambda_1)})$의 동치가 성립하며, 여기서 $S_1$은 퇴색 순환이고 $E = HF(\hat{S}_1, W)$는 1차원 공간이다.
• $\mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1$ 내에서 분리된 토러스 $T$는 $D\mathcal{F}uk^*(M)$ 내에서 $\textnormal{cone}(S \to S)$와 동치이며, 여기서 $S$는 반대대각선 Lagrangian 구면이다.
• 이 구성은 Seidel의 Dehn 회전 관계와 이전의 영이 아닌 피브리케이션 내 cobordism 관계를 Lefschetz 피브리케이션을 통해 하나의 프레임워크로 통합한다.
• 세 개 또는 네 개의 임계값을 가진 cobordism은, 양 끝이 모두 구면 또는 토러스일지라도 비자명한 위상수학적 성질을 가질 수 있다.
• 유도된 Fukaya 카테고리 $D\mathcal{F}uk^*(M)$의 Grothendieck 군은 평행 이동과 코ーン 분해를 통해 cobordism에 의해 유도된 Lagrangian의 이미지에 의해 생성됨을 보여준다.