[논문 리뷰] Large attractors in cooperative bi-quadratic Boolean networks. Part II

Winfried Just, Germán Enciso|ArXiv.org|2008. 01. 29.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 협동적 이차부정적 부울 네트워크에서 지수적으로 긴 주기 궤도(길이 >cⁿ, c<2)를 가질 수 있으려면 많은 비율의 단항(regulatory) 함수—이전 상태를 그대로 복사하는 함수—를 포함해야 한다는 것을 증명한다. 이는 이러한 시스템이 실질적으로 저차원 부울 지연 시스템에 의해 유도된다는 것을 시사한다. 주요 기여는 장기간 주기 궤도가 존재할 경우 테이프 형태의 기억 구조가 필수적임을 보여주는 구조적 특성 분석이며, 이는 튜링 기계의 동역학을 반영한다.

ABSTRACT

Boolean networks have been the object of much attention, especially since S. Kauffman proposed them in the 1960's as models for gene regulatory networks. These systems are characterized by being defined on a Boolean state space and by simultaneous updating at discrete time steps. Of particular importance for biological applications are networks in which the indegree for each variable is bounded by a fixed constant, as was stressed by Kauffman in his original papers. An important question is which conditions on the network topology can rule out exponentially long periodic orbits in the system. In this paper we consider cooperative systems, i.e. systems with positive feedback interconnections among all variables, which in a continuous setting guarantees a very stable dynamics. In Part I of this paper we presented a construction that shows that for an arbitrary constant 0

연구 동기 및 목표

• 협동적 이차부정적 부울 네트워크에서 지수적으로 긴 주기 궤도가 높은 비율의 단항 규제 함수 없이 존재할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 긴 주기 궤도의 존재가 테이프 구조를 가진 튜링 기계 유사 시스템과의 구조적 유사성을 암시하는지 조사하는 것.
• 비단항 함수 비율이 제한된 조건에서 이러한 네트워크에서 가능한 최대 주기 길이의 엄밀한 상한을 설정하는 것.
• 매우 긴 주기 궤도를 가지는 모든 네트워크가 유한 지연을 가진 저차원 부울 지연 시스템에 의해 유도됨을 보이는 것.
• 이러한 시스템에서 주기 길이의 지수적 성장률에 대한 알려진 하한과 상한 사이의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 저자들은 단일 입력에만 의존하는 규제 함수를 단항 함수로 정의하며, 이는 테이프 구조와 유사한 지연된 기억을 모방한다.
• 최소 n−M개의 규제 함수가 단항인 (M,n)-튜링 시스템의 개념을 도입하여, 중심 기계와 다수의 테이프를 가진 시스템을 모델링한다.
• 협동적 동역학의 구조적 분석을 통해, 주기 궤도 길이가 >cⁿ인 이차부정적 협동 네트워크는 높은 비율의 단항 함수를 가져야 한다는 것을 증명한다.
• 최대 지연 d를 가진 부울 지연 시스템의 개념을 정의하고, 상태 전이가 과거 상태에 의존함을 보여주며, 장기간 주기 궤도를 가지는 네트워크가 이러한 시스템에 의해 유도됨을 보인다.
• 비단항 함수 비율(α), 최대 진입차수(r), 최대 출력차수(b)에 대한 제약 조건 하에서 주기 길이 성장률 c(ε,α,b,r)의 상한을 유도한다.
• 수치적 추정을 통해 c(ε,α,b,r)를 추정하며, α=0.1, ε=0.25일 때 c≤1.9996임을 보여주어, 이러한 긴 궤도를 가지려면 90% 이상의 함수가 단항이어야 한다는 것을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수적으로 긴 주기 궤도(길이 >cⁿ, c<2)를 가지는 협동적 이차부정적 부울 네트워크가 높은 비율의 단항 규제 함수 없이 존재할 수 있는가?
• RQ2 이러한 네트워크에서 긴 주기 궤도의 존재는 지연된 상태 복사 구조를 가진 시스템과 구조적으로 동일한가, 즉 튜링 기계의 테이프와 유사한가?
• RQ3 비단항 함수 비율이 주어진 α 이하로 제한될 때, 이러한 네트워크에서 주기 궤도 길이의 최대 지수적 성장률 c는 얼마인가?
• RQ4 이러한 긴 주기 궤도를 가지는 모든 네트워크가 유한 지연을 가진 저차원 부울 지연 시스템에 의해 유도될 수 있는가?
• RQ5 c(ε,α,b,r)의 상한이 알려진 하한(예: √2)과 비교해 얼마나 날카로운가?

주요 결과

• 모든 ε>0과 α>0에 대해, c<2인 값이 존재하여, 주기 궤도 길이가 >cⁿ인 n차원 b-이차부정적 협동 부울 네트워크는 최소 (1−α)n개의 단항 규제 함수를 가져야 한다.
• 이차부정적 협동 네트워크가 주기 궤도 길이 >c(0.25,0.1,2,2)ⁿ ≈ 1.9996ⁿ를 가지면, 최소 90%의 규제 함수가 단항이어야 한다.
• 주기 궤도 길이 >c(0.25,1,2,2)ⁿ ≈ 1.9959ⁿ인 네트워크의 경우, 최소 일부 규제 함수가 단항이어야 한다.
• 이러한 시스템에서 긴 주기 궤도의 존재는 최대 차원 αn, 최대 지연 n인 부울 지연 시스템에 의해 유도됨을 시사한다.
• c(0.25,1,2,2)의 하한은 √2 ≈ 1.414이며, 상한은 1.9959이므로, 알려진 하한과 상한 사이에 상당한 격차가 있음을 나타낸다.
• 부정 피드백이나 캐널라이징 함수의 존재 여부와 관계없이 결과가 성립하여, 장기간 주기 궤도를 가지기 위해 단항 함수의 구조적 필수성이 입증된다.