[논문 리뷰] Large deviations for Branching Processes in Random Environment

Vincent Bansaye, Julien Berestycki|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2008. 10. 28.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 14인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 환경에서의 분열 과정(BPRE)에 대해 대규모 변동 원리를 수립하여, 이질적인 성장률이 희귀한 환경 시퀀스에서 기인함을 보여준다. $ c < \bar{L} $ 일 때 $ Z_n \leq e^{cn} $ 와 같은 사건에 대해 정확한 비율 함수를 유도하고, 이러한 사건 조건 하에서 궤적 $ \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 가 조각별로 선형인 결정론적 함수 $ f_c(t) $ 로 수렴함을 증명한다. 이 함수는 성장률이 비표준이 되기 시작하는 시점인 시간 지연 $ t_c $ 이후에 작용한다.

ABSTRACT

A branching process in random environment $(Z_n, n \in \N)$ is a generalization of Galton Watson processes where at each generation the reproduction law is picked randomly. In this paper we give several results which belong to the class of {\it large deviations}. By contrast to the Galton-Watson case, here random environments and the branching process can conspire to achieve atypical events such as $Z_n \le e^{cn}$ when $c$ is smaller than the typical geometric growth rate $\bar L$ and $ Z_n \ge e^{cn}$ when $c &gt; \bar L$. One way to obtain such an atypical rate of growth is to have a typical realization of the branching process in an atypical sequence of environments. This gives us a general lower bound for the rate of decrease of their probability. When each individual leaves at least one offspring in the next generation almost surely, we compute the exact rate function of these events and we show that conditionally on the large deviation event, the trajectory $t \mapsto \frac1n \log Z_{[nt]}, t\in [0,1]$ converges to a deterministic function $f_c :[0,1] \mapsto \R_+$ in probability in the sense of the uniform norm. The most interesting case is when $c &lt; \bar L$ and we authorize individuals to have only one offspring in the next generation. In this situation, conditionally on $Z_n \le e^{cn}$, the population size stays fixed at 1 until a time $ \sim n t_c$. After time $n t_c$ an atypical sequence of environments let $Z_n$ grow with the appropriate rate ($ eq \bar L$) to reach $c.$ The corresponding map $f_c(t)$ is piecewise linear and is 0 on $[0,t_c]$ and $f_c(t) = c(t-t_c)/(1-t_c)$ on $[t_c,1].$

연구 동기 및 목표

• 환경가 i.i.d. 이고 번식 법칙이 시간에 따라 랜덤하게 변하는 분열 과정에서의 대규모 변동 사건을 분석하기 위해.
• 표준 성장률 $ \bar{L} $ 보다 작은 $ c $ 에 대해 $ Z_n \leq e^{cn} $ 와 같은 이질적 성장 사건의 확률 감쇠 비율을 특성화하기 위해.
• 대규모 변동 조건 하에서의 과정 궤적 $ \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 의 점근적 행동을 규명하기 위해.
• 특히 개체가 거의 확실히 한 명의 후손만 남기는 경우를 포함한, 초임계 및 임계 이상의 변동에 대해 정확한 비율 함수를 수립하기 위해.

제안 방법

• 대규모 변동 확률를 분석하기 위해 마링갈 $ W_n = Z_n / M_n $ 를 통한 측도 전환 기법을 사용한다. 여기서 $ M_n = \prod_{i=1}^n m(\mathbf{p}_i) $ 이다.
• 크라머 정리와 수축 원리를 적용하여 $ \log m(\mathbf{p}) $ 의 모멘트 생성 함수를 통해 비율 함수의 하한을 도출한다.
• 모멘트 생성 함수의 경계와 마르코프 부등식을 사용하여, 다양한 환경 시퀀스 하에서 $ Z_n $ 의 尾 확률를 제어한다.
• 특히 임계/초임계 경우에서 $ Z_n $ 의 고차수 모멘트를 유계화하기 위해 생성 함수의 재귀적 조합 $ F_n = f_0 \circ \cdots \circ f_{n-1} $ 를 활용한다.
• 반복된 생성 함수의 도함수 성장에 관한 핵심 보조정리를 적용하여 $ \mathbb{E}[F_n^{(k)}(1)] $ 를 제어하고, 고정된 $ k $ 에 대해 $ n $ 에 대해 다항식 성장함을 보장한다.
• 대규모 변동 조건 하에서 궤적 $ t \mapsto \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 의 조건부 극한을 분석하여, 확률적으로 결정론적 조각별 선형 함수 $ f_c(t) $ 로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 랜덤 환경을 가진 BPRE에서 $ c < \bar{L} $ 일 때 $ Z_n \leq e^{cn} $ 의 대규모 변동 사건에 대해 정확한 비율 함수는 무엇인가요?
• RQ2 개체가 거의 확실히 한 명의 후손만 남기는 경우를 포함하여, $ Z_n \leq e^{cn} $ 조건 하에서의 인구 궤적 $ \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 는 어떻게 행동하는가요?
• RQ3 희귀한 환경 시퀀스와 인구 역학 간의 상호작용이 이질적인 성장률을 유도할 수 있으며, 만약 그렇다면 이는 궤적의 극한에 어떻게 반영되는가요?
• RQ4 $ c > \bar{L} $ 일 때 $ \mathbb{P}(Z_n \geq e^{cn}) $ 의 정확한 감쇠 비율은 무엇이며, 초임계 경우와 비교해보면 어떻게 되는가요?

주요 결과

• $ c < \bar{L} $ 일 때, $ \mathbb{P}(Z_n \leq e^{cn}) $ 의 정확한 비율 함수를 도출하였고, 이 사건 조건 하에서 과정 궤적 $ \frac{1}{n}\log Z_{[nt]} $ 가 확률적으로 결정론적 함수 $ f_c(t) $ 로 수렴함을 보였다.
• 극한 궤적 $ f_c(t) $ 는 조각별 선형인데, $ [0, t_c] $ 에서는 0이고, $ [t_c, 1] $ 에서는 $ f_c(t) = c(t - t_c)/(1 - t_c) $ 이다. 여기서 $ t_c $ 는 인구가 비표준 성장률 $ c \neq \bar{L} $ 으로 다시 성장하기 시작하는 시점이다.
• 인구는 $ nt_c $ 까지 크기가 1로 유지되며, 이후 희귀한 환경 시퀀스가 비표준 성장률 $ c $ 를 가능하게 하여 환경의 희귀성에 대한 시간 지연된 반응을 보인다.
• $ c > \bar{L} $ 일 때, 비율 함수는 모멘트 생성 함수 $ \psi $ 를 통해 유도되며, 감쇠 비율은 $ \sup_{\eta \leq c - \bar{L}} \min(s\eta, \psi(c - \eta)) $ 로 주어진다. 여기서 $ s $ 는 임계값 $ s_{\max} $ 에 수렴한다.
• 임계 또는 초임계 경우 $ \mathbb{P}(m(\mathbf{p}) \leq 1) = 1 $ 일 때, 논문은 $ \mathbb{P}(Z_n \geq c^n) $ 가 임의의 지수함수보다 더 빠르게 감쇠함을 보였으며, 이는 $ \mathbb{E}[F_n^{(k)}(1)] $ 에 대한 모멘트 유계를 사용하였다.
• 반복된 생성 함수의 도함수에 관한 재귀적 보조정리를 통해 $ \mathbb{E}[F_n^{(k)}(1)] \leq C_k n^{k^k} $ 를 확립하였고, 이는 마르코프 부등식을 적용하여 대규모 변동을 제어할 수 있도록 하였다.