[논문 리뷰] Large deviations for sums of multivariate stretched-exponential random variables: the few-big-jumps principle

Gantert, Nina, N. Gantert외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 01.

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한 줄 요약

다변수 스트레치-지수 랜덤 벡터들의 합에 대한 큰 편차 이론을 확장하고, 편차가 일반적으로 최대 k개의 독립 벡터에 의해 야기되는 few-big-jumps 원리를 확립한다.

ABSTRACT

Large deviations for sums of i.i.d.\ random variables with stretched-exponential tails (also called Weibull or semi-exponential tails) have been well understood since the 60's, going back to Nagaev's seminal work. Many extensions in the $1$-dimensional setting have been developed since then, showing that such deviations are typically governed by a single big jump. In higher dimensions, a corresponding theory has remained largely undeveloped. This work provides such a multivariate extension and establishes large deviation results for sums of i.i.d.\ random vectors in $\mathbb{R}^k$ under fairly general assumptions. Roughly speaking, for some $α\in(0,1)$, the log-probability of one random vector divided by $x$ exceeding a threshold $t$ in all components behaves asymptotically, for large $x$, as $x^α$ times a negative infimum of a function $\mathcal{J}$. We prove large deviation results for sums of i.i.d.\ copies, where the rate function is given by a minimization of at most $k$ summands of $\mathcal{J}$. This establishes a few-big-jumps principle that generalizes the classical $1$-dimensional phenomenon: the deviation is typically realized by \emph{at most} $k$ independent vectors. The results are applied to absolute powers of multivariate Gaussian vectors as well as to various other examples. They also allow us to study random projections of high-dimensional $\ell_p^N$-balls, revealing interesting insights about the appearance of light- and heavy-tailed distributions in high-dimensional geometry.

연구 동기 및 목표

• 일차원 설정을 넘어서 다변수 스트레치-지수 꼬리를 동기부여하고 형식화한다.
• 일반 꼬리 속도를 갖는 i.i.d. R^k-값 랜덤 벡터들의 합에 대한 큰 편차 원칙을 개발한다.
• 기저 속도 J의 최대 k개 항의 합을 최소화하여 얻어지는 IJ라는 속도 함수 도입.
• 다변수의 구체적 예 및 고차원에서의 기하학적 함의를 통해 이론을 시연한다.

제안 방법

• J 및 α-동일성(α ∈ (0,1))을 갖는 속도 함수를 통해 다변수 스트레치-지수 꼬리를 정의한다.
• 성장 x_N → ∞ 및 x_N N^{-1/(2-α)} → ∞ 하에서 속도 x_N^α로 정규화 합 1/x_N N^{-1} ∑ X_i에 대한 큰 편차 원칙을 확립한다.
• IJ(t)를 J의 합을 최대 k개 항까지 최소화하는 구성으로 구축하여 few-big-jumps 원리를 나타낸다.
• P(1/x_N ∑ X_i ≥ t) ≈ exp(-x_N^α IJ(t))를 얻기 위한 상하한 일치를 증명한다.
• 스트레치-지수 꼬리하에서 경험평균에 대한 중간편차(moderate-deviation) 결과 및 가우시안 범위(Gaussian-range) 결과를 제공한다.
• 다변수 가우시안 벡터의 절댓값의 거듭제곱 및 고차원 ℓ_N^p 구의 투영에 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 R^k에서 다변수 스트레치-지수 꼬리는 어떻게 정의되고 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 그러한 꼬리를 갖는 i.i.d. R^k-값 랜덤 벡터의 합에 대한 큰 편차 원칙은 무엇인가?
• RQ3 few-big-jumps 원리는 고차원으로 일반화될 때 어떤 형태의 IJ 속도 함수가 되는가?
• RQ4 다변수 가우시안 구성 및 고차원 기하에 대한 구체적 응용과 시사점은 무엇인가?
• RQ5 이 다변수 스트레치-지수 설정에서 중간 편차 및 가우시안 범위 결과는 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• 다변수 스트레치-지수 꼬리 프레임워크가 J와 α ∈ (0,1)로 확립되고, 컴포넌트별 속도 IJ가 J의 최대 k개 항의 합의 최소화에 의해 정의된다.
• 주된 큰 편차 결과는 x_N → ∞ 및 x_N N^{-1/(2-α)} → ∞일 때 P(1/x_N ∑ X_i ≥ t)가 exp(-x_N^α IJ(t))로 감소한다는 것을 보인다.
• 다변수 경우의 편차는 일반적으로 최대 k개의 독립 벡터 편차에 의해 실현되지만, 하나의 벡터가 여러 좌표에 영향을 줄 수 있으며 IJ 속도 함수는 반드시 볼록하거나 오목하지 않다.
• 적절한 꼬리 가정하에서 가우시안 영역에서 이차적인 속도 함수를 갖는 중간편차 원칙이 제공된다.
• 응용에는 다변수 가우시안 벡터의 절댓값 제곱, 다변수 Weibull 및 일반화 가우시안 모델, 가우시안 스케일 혼합, 가우시안의 다항식 이미지와 고차원 기하를 통한 ℓ_N^p-구의 사영에 대한 함의가 포함된다.
• 예시는 프레임워크가 고차원 투영에서 가벼운 꼬리와 무거운 꼬리 모두를 포착하고 J의 합의 infimum을 통해 속도 함수와 관련됨을 보여준다.