[논문 리뷰] Large gaps between consecutive prime numbers

Kevin Ford, Ben Green외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 20.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 18인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 에르되시의 오랫동안 남아있던 추측을 해결하며, X 이하의 연속된 소수 사이의 최대 간격 $ G(X) $ 가 $ G(X) \geqslant f(X) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ 를 만족함을 증명한다. 여기서 $ f(X) \to \infty $ 이다. 증명은 소수의 긴 등차수열에 관한 최근 결과들과 함께, 간격을 덮는 산술급수의 무작위 구성 방법을 결합하여, 소수정리에서 예측하는 평균 간격을 초월하는 점점 더 큰 소수 간격을 확립한다.

ABSTRACT

Let $G(X)$ denote the size of the largest gap between consecutive primes below $X$. Answering a question of Erdos, we show that $$G(X) \geq f(X) \frac{\log X \log \log X \log \log \log \log X}{(\log \log \log X)^2},$$ where $f(X)$ is a function tending to infinity with $X$. Our proof combines existing arguments with a random construction covering a set of primes by arithmetic progressions. As such, we rely on recent work on the existence and distribution of long arithmetic progressions consisting entirely of primes.

연구 동기 및 목표

• 폴 에르되시가 제기한 추측을 해결하는 것 — 즉, X 이하의 연속된 소수 사이의 최대 간격 $ G(X) $ 가 $ \sim \log X $ 의 어떤 상수배를 초월할 수 있다.
• 소수 간격의 하한을 정량적으로 확립하는 것 — $ \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ 의 고정된 배수를 초월하여 증가하는 함수 $ f(X) \to \infty $ 를 포함한 하한.
• 랭킨의 하한 $ G(X) \geqslant (c+o(1)) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ 에서 상수 $ c $ 가 임의로 크게 취할 수 있음을 보여, 이는 이전 모든 결과를 초월한다.
• 확률적 구성과 장기 소수 등차수열에 관한 결과를 융합한 새로운 방법을 제시하여 이러한 개선을 이룬다.

제안 방법

• 소수 $ p \leq x $ 에 대한 잔여류 집합을 구성하여 구간 $[1, y]$ 를 덮도록 하며, 이때 $ Y(x) $ 는 가능한 최대의 such $ y $ 를 의미한다.
• 중국인법의 정리를 이용해 $ m $ 을 구성하여, 어떤 $ p \leq x $ 에 대해 $ m + t \equiv 0 \pmod{p} $ 가 되도록 하여, $ 1 \leq t \leq y $ 에 대해 $ m + t $ 가 합성수임을 보장한다.
• 무작위 구성 방법을 사용하여 $[1, y]$ 를 덮는 잔여류를 선택하며, 확률적 추정을 바탕으로 높은 확률로 덮임을 보장한다.
• 최근에 발표된 장기 소수 등차수열의 존재에 관한 결과를 활용하여, 덮기 체계에 필요한 구조를 확보한다.
• 무작위 구성 하에서 산술급수 내 소수의 분포를 모델링하기 위해, 이동된 변형을 가진 $ \tilde{\nu} $ 와 유사한 바이어스 없는 바이어스 함수를 사용한다.
• 스리브 이론적 분석에서 오차 항을 제어하기 위해 상관관계 및 균일성 노름(Gowers 균일성 노름을 통해)을 확립하여, 구성된 간격이 실제로 작은 소수의 인수로 덮여 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랭킨의 $ G(X) $ 하한에서 상수 $ c $ 는 에르되시의 추측처럼 임의로 크게 만들 수 있는가?
• RQ2 소수 간격의 길이가 $ \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ 의 고정된 배수를 초월하여 증가하는, 임의로 긴 연속된 합성수의 수열을 $ X $ 이하에서 구성할 수 있는가?
• RQ3 작은 소수에 대한 잔여류의 무작위 구성이, 장기 소수 등차수열의 존재를 바탕으로 하여 이러한 큰 간격을 달성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 확률적 덮기와 장기 소수 등차수열에 관한 결과를 융합했을 때, $ G(X) $ 의 하한에서의 정량적 개선은 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 $ f(X) \to \infty $ 인 어떤 함수 $ f(X) $ 에 대해 $ G(X) \geqslant f(X) \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{(\log_3 X)^2} $ 를 확립하며, 이는 에르되시의 추측을 확인한다.
• 이 하한은 랭킨, 쇤하게, 핑츠의 이전 결과들을 모두 초월하며, 하한에 있는 상수 $ c $ 가 임의로 크게 취해질 수 있음을 보여, 개선된 결과를 얻는다.
• 증명은 간격 $[1, y]$, $ y = Y(x) $ 를 덮는 새로운 무작위 잔여류 구성에 의존하며, 중국인법의 정리를 사용해 크기가 $ y $ 인 간격을 생성한다.
• 이 방법은 최근에 발표된 장기 소수 등차수열의 존재 및 분포에 관한 진전에 의존하며, 이는 구성의 성공에 필수적이다.
• 저자들은 이 하한이 평균 간격의 어떤 고정된 배수를 초월하며, 크기 증가율이 크라머의 확률적 모델과 일치하지만 여전히 예상되는 $ \log^2 X $ 행동에 못 미친다는 점에서 날카로운 하한임을 보여준다.
• 메이내드는 선별 이론적 방법을 사용하여 결과를 별도로 확인하였으며, 향후 연구에서 두 접근법을 융합하여 추가 개선이 가능함을 보였다.