[논문 리뷰] Large groups, Property (tau) and the homology growth of subgroups

Marc Lackenby|ArXiv.org|2005. 09. 02.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한형성된 군에 대해 이분법을 설정한다: 또는 그 군은 크다 (비아벨리언 자유군으로의 유한지수 부분군의 전사 사상이 존재함), 또는 선형 mod p 호모로지 성장과 함께 중첩된 정규 p-부분군의 수열에 대해 성질 (τ)을 갖는다. 핵심 결과는 선형 호모로지 성장과 성질 (τ)의 결여를 통해 크기의 특성을 기술하며, 프로-p 완비화와 mod p 계수를 갖는 Mayer-Vietoris 추론을 통해 군론적 성질을 호모로지적 및 스펙트럴 행동과 연결한다.

ABSTRACT

We investigate the homology of finite index subgroups G_i of a given finitely presented group G. Specifically, we examine d_p(G_i), which is the dimension of the first homology of G_i, with mod p coefficients. We say that a collection of finite index subgroups {G_i} has linear growth of mod p homology if the infimum of d_p(G_i)/[G:G_i] is positive. We show that if this holds and each G_i is normal in its predecessor and has index a power of p, then one of the following possibilities must be true: G is large (that is, some finite index subgroup admits a surjective homomorphism onto a non-abelian free group) or G has Property (tau) with respect to {G_i}. The arguments are based on the geometry and topology of finite 2-complexes. This has several consequences. It implies that if the pro-p completion of a finitely presented group G has exponential subgroup growth, then G has Property (tau) with respect to some nested sequence of finite index subgroups. It also has applications to low-dimensional topology. We use it to prove that a group-theoretic conjecture of Lubotzky-Zelmanov would imply the following: any lattice in PSL(2,C) with torsion is large. We also relate linear growth of mod p homology to the existence of certain important error-correcting codes: those that are `asymptotically good', which means that they have large rate and large Hamming distance.

연구 동기 및 목표

• 중첩된 정규 p-부분군 수열에서의 선형 성장 모듈로 p 호모로지에 의한 크기 있는 유한형성 군의 특성화.
• 그러한 수열에 대해 크기성과 성질 (τ) 사이의 이분법 설정.
• 호모로지 성장과 유한 생성 군의 프로-p 완비화 및 부분군 성장 간의 연결.
• 결과를 PSL(2,C)의 격자에 적용하여 GS-τ 추측과 관련지음.
• 그들의 프로-p 완비화에서 지수적 부분군 성장을 갖는 군의 특성화 제공.

제안 방법

• 지수 p-거듭제곱을 갖는 유한지수 정규부분군의 중첩 수열을 사용하여 호모로지 성장을 분석.
• 이전 연구에서 사용된 Seifert-van Kampen 추론을 대체하기 위해 mod p 계수를 갖는 Mayer-Vietoris 정리를 적용.
• 선형 성장을 측정하기 위해 mod p 호모로지 기울기 λ = inf (d_p(G_i) - 1)/[G:G_i] 를 도입.
• 지수 p^n 인 부분정규부분군과 프로-p 완비화 G^(p)의 부분군 사이의 일대일 대응에 의존.
• p-군에서 지수 p 인 정규부분군의 수에 관한 부등식을 사용하여 a_p^n^<< (G) 의 부분군 성장을 유계화.
• 귀납법과 로그 성장 추정치를 사용하여 ∑r_i 와 log a_p^n^<< (G) 를 연결하고 limsup 조건을 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한형성 군의 크기성은 선형 mod p 호모로지 성장과 성질 (τ)의 결여에 의해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 중첩된 p-부분군 수열에서의 선형 호모로지 성장과 군의 프로-p 완비화 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 GS-τ 추측은 PSL(2,C)에서 토션을 포함하는 격자가 크다는 것을 암시하는가?
• RQ4 선형 mod p 호모로지 성장을 갖는 중첩 수열의 존재는 프로-p 완비화에서 지수적 부분군 성장과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 limsup of (log a_p^n^<< (G))/p^n 이 0을 초과하는 조건은 무엇이며, 이는 부분군 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 유한형성 군 G는 정규 p-부분군의 중첩 수열이 선형 mod p 호모로지 성장을 갖으며, 그 수열에 대해 G가 성질 (τ)를 갖지 않을 때에만 크다.
• 만약 군 G가 선형 mod p 호모로지 성장을 갖는 중첩된 부분정규 p-부분군 수열을 가진다면, 그 프로-p 완비화는 지수적 부분군 성장을 갖는다.
• (log a_p^n^<< (G))/p^n 의 limsup 가 양수일 조건은 G가 선형 성장을 갖는 중첩된 부분정규 p-부분군 수열을 갖는 것과 정확히 일치한다.
• (log a_p^n^<< (G))/p^n 의 하한이 양수일 조건은 정확히 그러한 선형 성장을 갖는 수열이 존재할 때이다.
• 그러한 수열의 존재는 지수 p^n 인 부분정규부분군의 수가 적어도 p^n 에 대해 지수적으로 증가함을 암시한다.
• GS-τ 추측은 정리 1.1의 이분법에 의해 PSL(2,C)에서 토션을 포함하는 임의의 격자가 크다는 것을 암시한다.