[논문 리뷰] Large scale behaviour of the spatial -Fleming-Viot process

N. Berestycki, Route de Saclay외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 21.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 R^d에서 두 유전자형을 가진 공간 Λ-플레밍-비オ트 과정의 대규모 행동을 연구하며, 스케일링 하에서의 대립유전자 빈도 역학에 초점을 맞춘다. 조상 과정이 α ∈ (1,2] 인 대칭 쌍곡형 안정 과정으로 수렴할 경우, α=2일 때는 대립유전자 빈도 과정이 결정론적이지만, α<2일 때는 거의 확실히 랜덤하고 지표 함수 형태가 되며, 이는 공진화하는 안정 과정들에 의해 정의된 랜덤 집합에 해당한다.

ABSTRACT

We consider the spatial �-Fleming-Viot process model ([BEV10]) for frequencies of genetic types in a population living in R d , in the special case in which there are just two types of individual, labelled 0 and 1. At time zero, everyone in the half-space consisting of points whose first coordinate is non-positive is type 1, whereas everyone in the complementary half-space is of type 0. We are concerned with patterns of frequencies of the two types at large space and time scales. We consider two cases, one in which the dynamics of the process are driven by purely ‘local’ events and one incorporating large-scale extinction recolonisation events. We choose the frequency of these events in such a way that, under a suitable rescaling of space and time, the ancestry of a single individual in the population converges to a symmetric stable process of index α ∈ (1,2] (with α = 2 corresponding to Brownian motion). We consider the behaviour of the process of allele frequencies under the same space and time rescaling. For α = 2, and d ≥ 2 it converges to a deterministic limit. In all other cases the limit is random and we identify it as the indicator function of a random set. In particular, there is no local coexistence of types in the limit. We characterise the set in terms of a dual process of coalescing symmetric stable processes, which is of interest in its own right. The complex geometry of the random set is illustrated through simulations.

연구 동기 및 목표

• R^d에서 두 유형을 가진 공간 Λ-플레밍-비오트 과정의 대규모 공간적 및 시간적 행동을 이해하기 위해.
• 국소적 역학과 대규모 멸종-재정착 사건 간의 유전적 사건 유형이 장기적인 대립유전자 빈도 패턴에 미치는 영향를 분석하기 위해.
• 조상 선이 대칭 안정 과정으로 수렴할 경우, 공간-시간 동시 스케일링 하에서 대립유전자 빈도 과정의 한계 행동을 규명하기 위해.
• 특히 α<2일 때, 유형이 공존하는 한계 랜덤 집합의 기하학적 성질을 규명하기 위해.
• 빈도 과정과 공진화하는 대칭 안정 과정들의 시스템 사이의 이중성 관계를 수립하여, 확률 과정론적 새로운 연결 고리를 제공하기 위해.

제안 방법

• 반경이 반공간으로 나누어진 단계 함수로 초기화된 두 유형(0과 1)을 가진 공간 Λ-플레밍-비오트 과정을 모델링한다.
• 한 개인의 조상 과정이 α ∈ (1,2] 인 대칭 α-안정 과정으로 수렴하도록 공간과 시간을 스케일링한다. 이 경우 브라운 운동(α=2)을 포함한다.
• 빈도 과정과 공진화하는 대칭 α-안정 과정들의 시스템 간의 이중성을 사용하여 한계 행동을 특성화한다.
• 동일한 스케일링 하에서 대립유전자 빈도 과정의 극한을 분석하며, α=2와 α<2의 경우를 구분한다.
• 스토크라스틱 분석과 스케일링 극한을 활용하여, 빈도 과정이 α=2일 때 결정론적 극한으로 수렴하거나, α<2일 때 랜덤 지표 함수로 수렴함을 도출한다.
• 시뮬레이션을 통해 α<2 영역에서의 한계 랜덤 집합의 복잡한 기하학적 구조를 시각화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 멸종-재정착 사건은 공간 모델에서 두 유전자형의 장기적 공간 분포에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 조상 선이 대칭 α-안정 과정으로 수렴할 경우, 공간-시간 동시 스케일링 하에서 대립유전자 빈도 과정의 한계 행동은 무엇인가?
• RQ3 α<2일 때, 국소적 공존이 유지되는가, 아니면 한 유형이 전역적으로 지배하는가?
• RQ4 공진화하는 대칭 안정 과정들의 이중 과정을 통해, 유형이 존재하는 한계 랜덤 집합의 기하학적 성질은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ5 공간적 구조와 공존성 측면에서, 결정론적 극한(α=2)과 랜덤 지표 함수 형태의 극한(α<2)는 무엇으로 구분되는가?

주요 결과

• α=2 이고 d≥2일 경우, 스케일링된 대립유전자 빈도 과정은 결정론적 극한으로 수렴하며, 안정적이고 예측 가능한 공간 패턴을 나타낸다.
• α<2일 경우, 스케일링된 대립유전자 빈도 과정은 랜덤 극한으로 수렴하며, 이는 랜덤 집합의 지표 함수이므로 한계에서 유형 간 국소적 공존이 존재하지 않음을 의미한다.
• 한계 랜덤 집합은 이중 과정에서 시간 0에 적어도 하나의 입자가 존재하는 점들의 집합으로 특성화된다.
• 빈도 과정과 공진화하는 안정 과정 시스템 간의 이중성은 한계 랜덤 집합을 새롭고 명시적으로 표현하는 데 기여한다.
• 시뮬레이션은 α<2 영역에서 한계 랜덤 집합이 복잡하고 프랙탈 유사 기하학적 구조를 띠며, 안정 운동의 장거리 의존성의 특성을 반영한다.
• α=2에서 결정론적 극한에서 랜덤 극한으로의 전이가 모델 행동의 임계 임계점임을 드러내며, 이는 기저의 안정 과정의 경로 성질과 관련이 있다.