[논문 리뷰] Large subgraphs without complete bipartite graphs

David Conlon, Jacob Fox외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 27.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Foucaud, Krivelevich, 및 Perarnau가 제기한 문제를 해결한다. 즉, $m$ 개의 간선을 가진 임의의 그래프에서 $K_{r,s}$-free 부분그래프의 최대 크기를 규명한다. 확률적 방법과 세는 기법을 사용하여, $\Omega(m^{r/(r+1)})$ 개의 간선을 가지는 날카운 하한을 증명하며, 이는 $s$ 에 따라 변하는 상수 인자 외에는 최적이다. 또한 이 결과를 유사한 상한을 가진 $k$-균일 초그래프로 확장한다.

ABSTRACT

In this note, we answer the following question of Foucaud, Krivelevich and Perarnau. What is the size of the largest $K_{r,s}$-free subgraph one can guarantee in every graph $G$ with $m$ edges? We also discuss the analogous problem for hypergraphs.

연구 동기 및 목표

• 모든 $m$ 개 간선을 가진 그래프에서 보장되는 $K_{r,s}$-free 부분그래프의 최대 크기를 규명하여 Foucaud, Krivelevich, 및 Perarnau가 제기한 열린 문제를 해결한다.
• 함수 $f(m, K_{r,s})$ 에 대한 날카운 점근적 상한을 확립한다. 이는 임의의 $m$ 개 간선 그래프에서 $K_{r,s}$-free 부분그래프의 최대 크기를 의미한다.
• 그래프에서의 결과를 $k$-균일 초그래프로 확장하여, $m$ 개 간선을 가진 $k$-그래프에서 $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 부분그래프의 크기를 분석한다.
• 상한이 상수 인자 외에는 최적임을 입증하기 위해, 상한에 도달하는 극적 그래프를 구성함으로써 최적성의 증명을 제공한다.

제안 방법

• 각 간선을 독립적으로 확률 $p = \frac{1}{2}m^{-1/(r+1)}$ 로 선택하여 무작위 부분그래프 $G'$ 를 형성하는 랜덤 간선 제거 절차를 적용한다.
• 기대값의 선형성과 $m$ 개 간선을 가진 그래프에서 $K_{r,r}$ 가 최대 $2m^r$ 개 존재할 수 있다는 상한을 이용하여, $G'$ 에서의 간선 수와 $K_{r,r}$ 복제 수의 기대값을 계산한다.
• $G'$ 에서 각 $K_{r,r}$ 복제에서 한 개의 간선을 제거하여 $K_{r,r}$-free 부분그래프를 얻는다. 이로 인해 기대 크기의 하한으로 $\frac{1}{4}m^{r/(r+1)}$ 을 확보한다.
• 완전 이분 그래프를 구성하여 상한을 보여주며, 이는 부분집합의 크기가 $m^{1/(r+1)}$ 과 $m^{r/(r+1)}$ 인 두 부분집합으로 이루어져 있다. 이는 Kővári–Sós–Turán 수세기 기법을 사용하여, 임의의 $K_{r,s}$-free 부분그래프에서 최대 $sm^{r/(r+1)}$ 개의 간선을 가질 수 있음을 보여준다.
• 확률적 제거 기법을 $k$-균일 초그래프로 확장하기 위해, 매칭 기반으로 $K^{(k)}_{r,\dots,r}$ 복제 수를 상한화하고, $p = \frac{1}{2}m^{-1/q}$ 를 사용하여 유사한 확률적 제거 기법을 적용한다. 여기서 $q = \frac{r^k - 1}{r - 1}$ 이다.
• 초그래프의 최적성은 $k$-분할 $k$-그래프에 대한 일반화된 귀납법을 사용하여 증명한다. 이는 적절한 크기의 부분집합을 가진 완전한 $k$-분할 $k$-그래프가 $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 부분그래프에서 최대 $rm^{(q-1)/q}$ 개의 간선을 가질 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $m$ 개 간선을 가진 그래프에서 보장되는 가장 큰 $K_{r,s}$-free 부분그래프는 무엇인가?
• RQ2 함수 $f(m, K_{r,s})$ 에 대한 상한이 $s$ 에 따라 변하는 상수 인자 외에는 최적화될 수 있는가?
• RQ3 밀도 높은 이분 그래프에서 $K_{r,s}$-free 부분그래프의 극적 구조는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 그래프 이론 결과를 완전한 $k$-분할 $k$-그래프를 금지된 부분그래프로 가지는 $k$-균일 초그래프로 확장할 수 있는가?
• RQ5 $m$ 개 간선을 가진 $k$-균일 초그래프에서 $f(m, K^{(k)}_{r,\dots,r})$ 의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 임의의 $m$ 개 간선을 가진 그래프에서 $K_{r,r}$-free 부분그래프의 최대 크기에 대해 $\frac{1}{4}m^{r/(r+1)}$ 의 하한을 확립한다. 이는 확률적 방법과 간선 제거를 통해 증명된다.
• 이 하한은 상수 인자 외에는 최적이다. 완전 이분 그래프에서 두 부분집합의 크기가 각각 $m^{1/(r+1)}$ 과 $m^{r/(r+1)}$ 이면, $K_{r,s}$-free 부분그래프는 최대 $sm^{r/(r+1)}$ 개의 간선을 가진다.
• $k$-균일 초그래프의 경우, $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 부분그래프의 최대 크기는 $\frac{1}{4}m^{(q-1)/q}$ 이상이며, 여기서 $q = \frac{r^k - 1}{r - 1}$ 이다. 이 상한은 상수 인자 외에는 최적이다.
• 상한을 위한 극적 구성은 부분집합 크기가 $m^{r^{i-1}/q}$ 인 완전한 $k$-분할 $k$-그래프를 사용한다. 이는 정확히 $m$ 개의 간선을 보장하고, 최대의 $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 부분그래프 크기를 달성한다.
• 증명은 $k$-분할 $k$-그래프에 대한 새로운 귀납 기반 세는 기법에 의존한다. 이는 한 부분집합의 평균 차수 값이 $r$ 이상이면, $K^{(k)}_{r,\dots,r}$ 복제 수가 $K^{(k)}_{r,\dots,r}$-free 제한을 초과함을 보여주며, 이는 모순을 초래한다.
• 결과는 놀랍다. 일반적으로 $K_{r,s}$ 의 투란 수(Turán number)는 알려져 있지 않지만, 이 논문은 $m$ 개 간선을 가진 그래프에서 부분그래프 크기에 대해 날카운 상한을 달성한다.