[논문 리뷰] Lasserre SDPs, $\ell_1$-embeddings, and approximating non-uniform sparsest cut via generalized spectra

Venkatesan Guruswami, Ali Kemal Sinop|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 18.

Sparse and Compressive Sensing Techniques인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 Lasserre 계층 SDP와 SDP에서 유도된 벡터의 ℓ₁-임bedding을 사용하여 비균일한 희박한 컷 문제에 대한 새로운 근사 알고리즘을 제시한다. r번째로 작은 일반화된 고유값이 λ_r ≥ Φ*/(1−δ)를 만족할 경우, 시간 복잡도 2^{r/(δε)}·poly(n) 내에서 (1+ε)/δ-근사 해를 달성하며, 이는 이 문제에 대해 고차원 스펙트럼을 처음으로 활용한 것으로, 일반성과 정량적 보증 면에서 이전 방법을 향상시킨다.

ABSTRACT

We give an approximation algorithm for non-uniform sparsest cut with the following guarantee: For any $\epsilon,\delta \in (0,1)$, given cost and demand graphs with edge weights $C, D$ respectively, we can find a set $T\subseteq V$ with $\frac{C(T,V\setminus T)}{D(T,V\setminus T)}$ at most $\frac{1+\epsilon}{\delta}$ times the optimal non-uniform sparsest cut value, in time $2^{r/(\delta\epsilon)}\poly(n)$ provided $\lambda_r \ge \Phi^*/(1-\delta)$. Here $\lambda_r$ is the $r$'th smallest generalized eigenvalue of the Laplacian matrices of cost and demand graphs; $C(T,V\setminus T)$ (resp. $D(T,V\setminus T)$) is the weight of edges crossing the $(T,V\setminus T)$ cut in cost (resp. demand) graph and $\Phi^*$ is the sparsity of the optimal cut. In words, we show that the non-uniform sparsest cut problem is easy when the generalized spectrum grows moderately fast. To the best of our knowledge, there were no results based on higher order spectra for non-uniform sparsest cut prior to this work. Even for uniform sparsest cut, the quantitative aspects of our result are somewhat stronger than previous methods. Similar results hold for other expansion measures like edge expansion, normalized cut, and conductance, with the $r$'th smallest eigenvalue of the normalized Laplacian playing the role of $\lambda_r$ in the latter two cases. Our proof is based on an l1-embedding of vectors from a semi-definite program from the Lasserre hierarchy. The embedded vectors are then rounded to a cut using standard threshold rounding. We hope that the ideas connecting $\ell_1$-embeddings to Lasserre SDPs will find other applications. Another aspect of the analysis is the adaptation of the column selection paradigm from our earlier work on rounding Lasserre SDPs [GS11] to pick a set of edges rather than vertices. This feature is important in order to extend the algorithms to non-uniform sparsest cut.

연구 동기 및 목표

• 표준 스펙트럼 갭을 초월한 고차원 스펙트럼 정보를 활용하여 비균일 희박한 컷 문제에 대한 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• ℓ₁-임bedding을 기반으로 한 새로운 라운딩 프레임워크를 도입하여 Lasserre 계층 SDP의 적용 범위를 비균일 희박한 컷 문제로 확장하는 것.
• 비용 및 수요 라플라시안 행렬의 일반화된 고유값의 증가율에 따라 정량적 근사 보증을 제공하는 것.
• 비용 및 수요 라플라시안의 r번째로 작은 고유값을 활용하여 엣지 확장, 정규화된 컷, 컨덕턴스와 같은 다른 확장 측정법으로 접근을 일반화하는 것.
• 라운딩 과정에서 정점 기반 선택에서 엣지 기반 선택으로의 컬럼 선택 파라다임을 적응시켜 비균일 설정으로의 확장을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• Lasserre 계층을 활용하여 비균일 희박한 컷 문제의 준선형계획형(SDP) 근사 문제를 구성한다.
• SDP 해에서 유도된 벡터들을 랜덤화된 임베딩 기법을 사용하여 ℓ₁ 공간에 임베딩하여 컷의 구조를 유지한다.
• 임베디드된 ℓ₁ 벡터에 임계값 라운딩 절차를 적용하여 원래 그래프의 컷을 생성한다.
• 분석 과정에서 기존 연구에서 사용된 표준 정점 기반 선택을 대체하여 비균일 수요 및 비용 구조를 다룰 수 있도록 엣지 기반 컬럼 선택 파라다임을 도입한다.
• 라운딩의 품질을 비용 및 수요 그래프의 라플라시안 행렬의 r번째로 작은 일반화된 고유값 λ_r와 연관지어 근사 보장을 유도한다.
• 시간 복잡도는 2^{r/(δε)}·poly(n)로 제한되며, 지수 항은 λ_r ≥ Φ*/(1−δ)의 스펙트럼 갭 조건에 따라 달라진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비용 및 수요 라플라시안의 고차원 일반화된 고유값을 활용하여 비균일 희박한 컷 문제에 대한 더 나은 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 ℓ₁-임베딩과 엣지 기반 라운딩을 통해 Lasserre SDP 계층을 비균일 희박한 컷 문제에 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 이 설정에서 근사 비율과 스펙트럼 조건 λ_r ≥ Φ*/(1−δ) 사이의 정량적 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ4 이전 연구에서 정점 기반으로 사용된 컬럼 선택 파라다임을 엣지 기반으로 일반화할 수 있는가? 이는 비균일 수요 및 비용 구조를 지원하는 데 필수적인가?
• RQ5 동일한 기법들이 엣지 확장 및 정규화된 컷과 같은 다른 그래프 확장 측정법으로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• r번째로 작은 일반화된 고유값 λ_r가 λ_r ≥ Φ*/(1−δ) 조건을 만족할 경우, 알고리즘이 비균일 희박한 컷 값에 대해 (1+ε)/δ-근사 해를 달성한다.
• 실행 시간은 2^{r/(δε)}·poly(n)로 제한되며, 일반화된 스펙트럼이 중간 정도로 증가할 경우 문제의 해법이 실현 가능해짐을 보여준다.
• 이 연구는 비균일 희박한 컷 문제에 대해 고차원 스펙트럼을 처음으로 활용한 결과로, 스펙트럼 그래프 이론과 근사 알고리즘 분야의 핵심적 격차를 메운다.
• 이 접근법은 엣지 확장 및 정규화된 컷과 같은 다른 확장 측정법으로 일반화될 수 있으며, 이 경우 정규화된 라플라시안의 r번째로 작은 고유값이 λ_r의 역할을 한다.
• ℓ₁-임베딩 기법과 임계값 라운딩의 조합은 비균일 설정에서 Lasserre SDP 해의 효과적인 라운딩을 가능하게 한다.
• 정점이 아닌 엣지 기반으로 컬럼 선택 파라다임을 적응시킨 것이 비균일 희박한 컷 문제로의 방법 확장을 위해 필수적이다.