[논문 리뷰] Lattice Index Theorem and Fractional Topological Charge

Roman Höllwieser, M. Faber외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 06.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 28인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 오버랩 및 asqtad 스타그러드 페르미온을 사용하여 클래식한 구형 중심 보어의 격자 색인 정리 위반을 조사한다. 기본 및 고유 표현에서 수행되며, 위상적 전하와 디랙 연산자의 색인 사이의 불일치를 규명하고, 이는 $S^3$에서 $SU(2)$로의 사상으로서의 구의 비틀림 수와 수치적으로 일치하며, 냉각 과정 중에 분수 위상 전하 $Q = 1/2$에 대한 증거를 제시한다. 이는 무한대에서 감쇠하는 게이지 장을 가지며, 주기적 경계 조건 하에서 반모노폴이 필요로 하지 않는 디랙 모노폴로 식별된다.

ABSTRACT

We study topological properties of classical spherical center vortices with the low-lying eigenmodes of the Dirac operator in the fundamental and adjoint representations using both the overlap and asqtad staggered fermion formulations. In particular we address the puzzle raised in a previous work of our group [Phys.\ Rev.\ D 77, 14515 (2008)], where we found a violation of the lattice index theorem with the overlap Dirac operator in the fundamental representation even for "admissible" gauge fields. Here we confirm the discrepancy between the topological charge and the index of the Dirac operator also for asqtad staggered fermions and the adjoint representation. Numerically, the discrepancy equals the sum of the winding numbers of the spheres when they are regarded as maps $\mathbbm R^3 \cup \{\infty\} o SU(2)$. Furthermore we find some evidence for fractional topological charge during cooling the spherical center vortex on a $40^3 imes 2$ lattice. The object with topological charge $Q=1/2$ we identify as a Dirac monopole with a gauge field fading away at large distances. Therefore even for periodic boundary conditions it does not need an antimonopole.

연구 동기 및 목표

• 오버랩 디랙 형식에서 부드럽고 '허용 가능한' 게이지 장에 대해 이전에 관측된 격자 색인 정리 위반을 해결하기 위해.
• 개선된 스타그러드 페르미온을 사용할 경우 및 고유 표현에서 이러한 불일치가 지속되는지 조사하기 위해.
• 유한 격자에서의 냉각 과정 중 구형 보어의 분수 위상 전하 기원을 탐색하기 위해.
• 주기적 경계 조건 하에서 반모노폴이 필요 없이 이러한 분수 전하 구성이 존재할 수 있는지 판단하기 위해.

제안 방법

• 시간 방향 링크의 위상 프로파일 $\alpha_\pm(r)$를 사용하여 SU(2) 격자 양성계 이론에서 두꺼운 구형 중심 보어를 구성한다. 이 프로파일은 0에서 $\pi$로 보간한다.
• 격자 $F\tilde{F}$ 밀도를 통해 위상 전하를 계산하고, 기본 및 고유 표현에서 디랙 연산자의 색인과 비교한다.
• 오버랩 및 asqtad 스타그러드 페르미온 형식을 모두 사용하여 색인을 계산하고, 영 모드의 국소화를 분석한다.
• 냉각을 적용하여 위상 전하의 진화를 연구하고 일시적인 분수 전하 상태를 탐지한다.
• 폴리아코프 고리, 링크, 플라켓 및 모노폴 구성 분석을 통해 게이지 장의 구조를 분석하고, 디랙 모노폴 행동을 식별한다.
• 보어 구성의 연속적 사상 $S^3 \to SU(2)$를 매핑하여 비틀림 수를 계산하고, 색인 불일치와 관련지어 본다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오버랩 페르미온 대신 asqtad 스타그러드 페르미온을 사용할 경우, 격자 색인 정리 위반이 지속되는가?
• RQ2 위상 전하와 디랙 색인 사이의 불일치는 $SU(2)$로의 사상으로서의 구의 비틀림 수와 관련이 있는가?
• RQ3 냉각 과정 중 구형 보어에서 분수 위상 전하 $Q = 1/2$가 나타날 수 있으며, 그 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ4 분수 전하 상태는 주기적 경계 조건 하에서도 반모노폴이 필요 없이 전하 중성화를 이루는 디랙 모노폴과 대응하는가?
• RQ5 냉각 과정 중 게이지 장 구성은 어떻게 변화하는가? 그리고 폴리아코프 고리와 플라켓 구조는 모노폴 유사 행동을 식별하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 위상 전하와 디랙 연산자 색인 사이의 불일치는 $SU(2)$로 사상된 구의 비틀림 수와 수치적으로 일치하며, 이는 이상의 위상 기원을 확인한다.
• 동일한 색인 정리 위반은 기본 표현에서 asqtad 스타그러드 페르미온에서도 관측되며, 이는 페르미온 형식 간의 강건성을 시사한다.
• 크기 $40^3 \times 2$ 격자에서의 냉각 과정 중 고유 표현에서의 색인은 일시적인 상태로 위상 전하 $Q \approx 1/2$를 나타낸다.
• 이 $Q = 1/2$ 상태는 중심에 특이점을 가지며 무한대에서 감쇠하는 게이지 장을 가지며, 비아벨 모노폴의 구조와 일치하는 디랙 모노폴으로 식별된다.
• 주기적 경계 조건 하에서도, $SU(2)$ 게이지 장의 비자명한 위상 구조 덕분에 반모노폴이 필요 없이 전하를 상쇄할 수 있다.
• 폴리아코프 고리 프로파일과 링크/플라켓 벡터 정렬은 해치혹 유사한 구조와 모노폴 행동을 확인하며, 냉각 단계 130에서 명확한 전이가 관측된다.