[논문 리뷰] Law of Large Numbers and Central Limit Theorem under Nonlinear Expectations

Shigē Péng|ArXiv.org|2007. 02. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 57

한 줄 요약

이 논문은 하위선형 기대하에서 대수의 법칙(LLN)과 중심극한정리(CLT)를 수립하며, 정규분포의 비선형 해석으로서 G-정규분포를 도입한다. 완전히 비선형 편미분방정식(PDE) 추정을 통해 G-기대하에서 동일하게 분포된 확률변수들이 분포 수렴하여 G-정규분포로 수렴함을 증명함으로써, 금융 및 통계 분야에서의 모델 불확실성에 대한 고전적 확률법칙을 확장한다.

ABSTRACT

The law of large numbers (LLN) and central limit theorem (CLT) are long and widely been known as two fundamental results in probability theory. Recently problems of model uncertainties in statistics, measures of risk and superhedging in finance motivated us to introduce, in [4] and [5] (see also [2], [3] and references herein), a new notion of sublinear expectation, called extquotedblleft% $G$-expectation extquotedblright, and the related extquotedblleft$G$-normal distribution extquotedblright from which we were able to define G-Brownian motion as well as the corresponding stochastic calculus. The notion of G-normal distribution plays the same important rule in the theory of sublinear expectation as that of normal distribution in the classic probability theory. It is then natural and interesting to ask if we have the corresponding LLN and CLT under a sublinear expectation and, in particular, if the corresponding limit distribution of the CLT is a G-normal distribution. This paper gives an affirmative answer. The proof of our CLT is short since we borrow a deep interior estimate of fully nonlinear PDE in [6] which extended a profound result of [1] (see also [7]) to parabolic PDEs. The assumptions of our LLN and CLT can be still improved. But the discovered phenomenon plays the same important rule in the theory of nonlinear expectation as that of the classical LLN and CLT in classic probability theory.

연구 동기 및 목표

• 하위선형 기대의 프레임워크로 고전적 대수의 법칙과 중심극한정리를 확장하기 위해.
• 하위선형 기대하에서의 중심극한정리의 극한분포가 고전적 확률에서 정규분포와 유사하게 G-정규분포인지 조사하기 위해.
• 특히 위험 측정 및 금융 슈퍼헤징 분야에서 중요한 모델 불확실성 하에서 확률법칙에 대한 엄밀한 기초를 마련하기 위해.
• G-기대와 G-브라운운동을 사용하여 확률분포의 모호함을 수용할 수 있도록 고전적 확률극한정리의 일반화를 위해.
• 동일분포인 i.i.d. 확률변수들의 정규화된 합이 최소한의 모멘트 및 독립성 가정 하에 G-정규분포로 수렴함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 단조성, 부분가환성, 양의 동차성, 상수 이동성의 성질을 갖는 G-기대를 통해 하위선형 기대를 정의한다.
• 테스트 함수를 $C_{poly}(\mathbb{R})$ 내에서 사용하여 G-기대 하에서 동일분포인 i.i.d. 확률변수를 정의한다.
• 완전히 비선형 포물형 편미분방정식(PDE)에 대한 깊은 내부 추정(출처: [6])을 적용하여 CLT를 증명하며, G-브라운운동과 비선형 PDE 간의 연결성을 활용한다.
• 시간 이산화된 동적계획법 접근법을 사용하며, $\partial_t V + G(\partial_{xx}^2 V) = 0$ 를 만족하는 테스트 함수 $V(t,x)$ 를 사용한다. 여기서 $G$ 는 비선형 생성자이다.
• 테일러 전개와 헬더 연속성 추정을 활용하여 PDE 이산화 근사의 오차항을 유계로 제한하고, $n \to \infty$ 일 때 수렴이 0이 됨을 보인다.
• 유계이고 균일연속인 $\varphi$ 에 대해 $\mathbb{E}[\varphi(S_n / \sqrt{n})]$ 가 $\widetilde{\mathbb{E}}[\varphi(\xi)]$ 로 수렴함을 확립한다. 여기서 $\xi$ 는 G-정규분포를 따른다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위선형 기대하에서 대수의 법칙이 성립하는가? 그리고 정규화된 합이 $L^2$-노름에서 0으로 수렴하는가?
• RQ2 고전적 중심극한정리가 비선형 기대의 맥락으로 일반화될 수 있는가? 극한분포가 G-정규분포인가?
• RQ3 G-기대하에서 G-정규분포로 수렴하기 위해 확률변수에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 하위선형 기대하에서 CLT의 수렴 속도는 어떻게 행동하는가? PDE 기법으로 이를 유계로 제한할 수 있는가?
• RQ5 G-정규분포는 비선형 기대 프레임워크에서 자연스러운 극한분포인가? 고전적 확률에서 정규분포가 차지하는 바와 유사한가?

주요 결과

• 하위선형 기대하에서 대수의 법칙이 성립한다: $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[\left|\frac{S_n}{n}\right|^2\right] = 0$, 수렴 속도는 $\frac{\overline{\sigma}^2}{n}$ 으로 유계로 제한된다.
• G-기대하에서의 중심극한정리는 $\mathbb{E}\left[\varphi\left(\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)\right] \to \widetilde{\mathbb{E}}\left[\varphi(\xi)\right]$ 를 만족한다. 여기서 $\varphi$ 는 유계이고 균일연속이며, $\xi$ 는 G-정규분포를 따른다.
• CLT의 극한분포는 G-정규분포이며, 고전적 확률론에서 정규분포가 차지하는 기초적 역할을 비선형 기대이론에서도 수행한다.
• CLT의 수렴 속도는 $O(n^{-\alpha/2})$ 이며, $\alpha \in (0,1)$ 이다. 이는 테스트 함수의 헬더 정(regularity)과 확률변수의 모멘트에 따라 달라진다.
• 증명은 특히 [6]의 내부 정규성 추정을 활용한 PDE 기반 접근법에 기반하며, 완전히 비선형 포물형 방정식의 점근해 이론을 사용한다.
• 유계 및 균일연속 함수는 리프시츠 함수에 의한 근사로 확장되며, 균일수렴 하에서 극한의 안정성을 확인한다.