[논문 리뷰] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 45인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 편향된 복소수와 안정적 막대를 이용하여 R⁴ 위의 순간자 모듈리 공간에 대한 기하학적 표현 이론 프레임워크를 개발하며, 우렌벡 컴actsfication의 T-여기적 교차 코hom올로지와 아핀 리 대수군과 W-대수의 표현 이론 사이의 연결 고리를 확립한다. 주요 결과는 모듈리 공간의 생성 함수가 W-대수의 버마 모듈러에서 윌리엄슨 벡터임을 규명하며, ADE 게이지 군에 대해 AGT 대응의 엄밀한 수학적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

I will explain my joint paper `Instantons moduli spaces and W-algebras' with A.Braverman, M.Finkelberg, arXiv:1406.2381. I will concentrate on the geometric part, that is a study of perverse sheaves on instanton moduli spaces. I place a particular emphasize on the hyperbolic restriction functor and stable envelop, which are our key tools, and appear also in other situations in geometric representation theory. These are lecture notes for a course in 2015 PCMI.

연구 동기 및 목표

• R⁴ 위의 순간자 모듈리 공간에 대해 편향된 복소수와 안정적 막대를 이용한 기하학적 표현 이론을 수립하기.
• 우렌벡 컴actsfication의 T-여기적 교차 코hom올로지와 아핀 리 대수군 및 W-대수의 표현 이론을 연결하기.
• 모듈리 공간의 코hom올로지 불변량으로서 네크라소프 분할 함수를 실현함으로써 AGT 대응에 대한 수학적 기초를 제공하기.
• 유형 A의 결과를 ADE 리 유형으로 일반화하며, 위상적 불변량을 코어하는 W-대수의 역할에 중점을 두기.

제안 방법

• R⁴ 위의 프레임드 순간자 모듈리 공간의 우렌벡 부분 컴actsfication을 중심 기하학적 대상으로 사용한다.
• 모우리크-오쿠노프가 도입하고 브라든의 하이퍼볼릭 제약을 통해 재구성한 안정적 막대를 적용하여, 서로 다른 코hom올로지 군 간의 자연스러운 동형사상을 구성한다.
• T × C× × C×에 대한 편향된 복소수와 T-여기적 코hom올로지를 사용하며, 여기서 T는 프레임 변경에 의해 작용하고 C× × C×는 C² = R⁴에 작용한다.
• 컨볼루션 대수와 Ext-대수 동형사상( CG, §8.6 참조)을 사용하여, 층 이론적 구성과 표현 이론적 구조 사이의 관계를 규명한다.
• Frenkel-Zhu 등의 이론을 활용하여, 코hom올로지 불변량을 정점 대수 모듈러로 해석한다.
• [BL] 및 [more]에서 다루는 유도된 분야의 T-여기적 복소수와 보렐-무어 호모로지의 기본 도구에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 우렌벡 컴actsfication된 순간자 모듈리 공간 위의 편향된 복소수는 아핀 리 대수군과 W-대수의 표현을 어떻게 실현하는가?
• RQ2 R⁴ 위의 프레임드 순간자에 대한 맥락에서 안정적 막대 구성의 정확한 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ3 모듈리 공간의 T-여기적 교차 코hom올로지는 네크라소프 분할 함수를 어떻게 코어하고, conformal field theory와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 왜 모듈리 공간의 기본 사이클 합이 W-대수의 버마 모듈러에서 윌리엄슨 벡터에 대응하는가?
• RQ5 왜 순간자 모듈리 공간의 코hom올로지에 W-대수의 구조가 나타나는가에 대한 내재된 기하학적 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 생성 함수 ∑d[𝒰ᴳᵈ]는 게이지 군 G와 관련된 W-대수의 버마 모듈러에서 윌리엄슨 벡터로 식별된다.
• T×C××C×-여기적 교차 코호몰로지 군 IH*_{T×C××C×}(𝒰ᴳᵈ)는 W-대수의 자연스러운 작용을 지니며, 이는 AGT 대응을 수학적으로 엄밀하게 실현한다.
• 안정적 막대 구성은 우렌벡 컴actsfication 내의 서로 다른 스트라타의 코호몰로지 군 간의 자연스러운 동형사상을 제공하며, W-대수 작용을 정의하는 데 필수적이다.
• 유형 A의 경우, 기이제커 컴actsfication ̃𝒰ʳᵈ에서 T-여기적 오일러 클래스 e(𝒱)ʳ의 r제곱은 정규 구멍이 있는 실린더에 대응하며, 네크라소프 분할 함수와 연결된다.
• ̃𝒰ʳᵈ의 차원은 2dr이며, e(𝒱)ʳ의 차수와 일치하여, T-여기적 설정에서의 코호몰로지 자연성을 확인한다.
• 이 구성은 ADE 유형으로 일반화되며, W-대수 표현은 R⁴ 위의 프레임드 순간자 모듈리 공간 기하학에서 유도된다.