[논문 리뷰] Levin Steckin theorem and inequalities of the Hermite-Hadamard type

Tomasz Szostok|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 27.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 헤르미트-하담르 부등식의 일반화를 위해 레빈-스테치킨 정리를 적용하여, 가중치가 부여된 점에서의 함수 값의 볼록 조합과 구간에서의 적분 평균을 포함하는 모든 부등식을 특성화한다. 부호가 있는 변동과 분포 함수의 교차점 분석을 통해 이러한 부등식이 모든 볼록 함수에 대해 성립하기 위한 필요 및 충분 조건을 제공하며, 오린의 보조정리에 기반한 이전 결과를 일반화하고 더 긴 표현식 및 적분 평균을 포함하지 않는 구 quadrature 비교 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Recently Ohlin lemma on convex stochastic ordering was used to obtain some inequalities of Hermite-Hadamard type. Continuing this idea, we use Levin-Stečkin result to determine all inequalities of the forms: $$\sum_{i=1}^3a_if(α_ix+(1-α_i)y)\leq \frac{1}{y-x}\int_{x}^yf(t),$$ $$a_1f(x)+\sum_{i=2}^3a_if(α_ix+(1-α_i)y)+a_4f(y)\geq \frac{1}{y-x}\int_{x}^yf(t)$$ and $$af(α_1x+(1-α_1)y)+(1-a)f(α_2x+(1-α_2)y)\leq b_1f(x)+b_2f(βx+(1-β)y)+b_3f(y)$$ which are satisfied by all convex functions $f:[x,y] o{\mathbb R}.$ As it is easy to see, the same methods may be applied to deal with longer expressions of the forms considered. As particular cases of our results we obtain some known inequalities.

연구 동기 및 목표

• 오린의 보조정리가 두 점 또는 세 점 비교에 국한된 이전 결과의 범위를 초월하여 헤르미트-하담르 유형 부등식을 확장하기 위해.
• 모든 볼록 함수 $f$에 대해 성립하는 형태의 부등식 $\sum a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ 를 특성화하기 위해.
• 이를 더 긴 표현식과 적분 평균을 포함하지 않는 두 구 quadrature 연산자 간의 부등식 비교로 일반화하기 위해.
• 레빈-스테치킨 정리를 사용하여 모든 볼록 함수에 대해 이러한 부등식이 유효한지를 판단할 수 있는 체계적인 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유계 변동을 갖는 부호 있는 측도와 분포 함수를 분석하기 위해 레빈-스테치킨 정리를 사용한다.
• 레빈-스테치킨 정리에서 유도된 보조정리 2를 적용하여, $F_1$과 $F_2$ 사이의 교차점 수와 위치에 기반해 $\int f\,dF_1 \leq \int f\,dF_2$ 가 모든 볼록 $f$에 대해 성립하는 조건을 결정한다.
• $A_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} |F_1(t) - F_2(t)|\,dt$ 를 정의하고, 홀수 개인 교차점이 존재할 경우 부등식이 성립하도록 보장하기 위해 $A_i$ 를 포함하는 재귀적 부등식을 유도한다.
• 계수 $a_i$, $\alpha_i$, 및 가중치 $b_j$ 에 대한 대수적 조건을 점검함으로써 문제를 단순화한다. 예를 들어 $\sum a_i(1-\alpha_i) = \frac{1}{2}$ 와 $A_i$ 항들 간의 부등식이다.
• 지점별 볼록 조합을 $[0,1]$ 에서의 분포 함수 $F_1$ 및 $F_2$ 로 변환하여 적분 비교 정리를 적용할 수 있도록 한다.
• 대칭성과 치환을 사용하여 일반적인 구간 $[x,y]$ 를 손실 없이 $[0,1]$ 로 줄인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 볼록 함수 $f$에 대해 세 항 볼록 조합 $\sum_{i=1}^3 a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y)$ 가 적분 평균 $\frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ 보다 작거나 같게 되는 데 필요한 필수 조건은 무엇인가?
• RQ2 레빈-스테치킨 정리는 분포 함수 간의 교차점이 하나 이상일 경우 오린의 보조정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 두 구 quadrature 연산자 간의 부등식, 예를 들어 $a f(\alpha_1 x + (1-\alpha_1)y) + (1-a) f(\alpha_2 x + (1-\alpha_2)y) \leq b_1 f(x) + b_2 f(\beta x + (1-\beta)y) + b_3 f(y)$ 가 모든 볼록 함수에 대해 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 방법은 세 점을 초월하는 더 긴 표현식으로 확장될 수 있으며, 그 과정에서 발생하는 계산적 과제는 무엇인가?
• RQ5 부등식 $a f(\alpha x + (1-\alpha)y) + (1-a) f(\beta x + (1-\beta)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ 가 모든 볼록 $f$ 에 대해 성립하기 위한 정확한 대수적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 부등식 $\sum_{i=1}^3 a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ 가 모든 볼록 함수 $f$ 에 대해 성립하는 것은 $\sum a_i(1-\alpha_i) = \frac{1}{2}$ 이고, $a_1 \leq 1-\alpha_1$ 이며 $a_1 + a_2 \geq 1 - \alpha_3$ 이거나, $a_1 \geq 1 - \alpha_1$ 이며 $a_1 + a_2 \leq 1 - \alpha_3$ 인 것과 동치이다.
• 부등식 $a f(\alpha_1 x + (1-\alpha_1)y) + (1-a) f(\alpha_2 x + (1-\alpha_2)y) \leq b_1 f(x) + b_2 f(\beta x + (1-\beta)y) + b_3 f(y)$ 에 대해 조건 $b_2(1-\beta) + b_3 = a(1-\alpha_1) + (1-a)(1-\alpha_2)$ 가 필요하고 충분하며, 다음 네 가지 경우 중 하나가 성립해야 한다: $a \leq b_1$, $a \geq b_1 + b_2$, $\alpha_2 \geq \beta$, 또는 $a \in (b_1, b_1 + b_2)$, $\alpha_2 < \beta$, 및 $(1-\alpha_1)b_1 \geq (\alpha_1 - \beta)(a - b_1)$.
• 구간 $x \in \left[\frac{3a+b}{4}, \frac{a+b}{2}\right]$ 에서의 부등식 $\frac{f(x)+f(a+b-x)}{2} \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$ 는 특수한 경우로 복원된다.
• 구간 $x \in \left[a, \frac{a+b}{2}\right]$ 에서의 부등식 $\frac{f(a)+f(x)+f(a+b-x)+f(b)}{4} \geq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$ 는 이제 이전 방법으로는 접근할 수 없었던 정리 3를 통해 증명 가능해졌다.
• 예제 3은 $\frac{f(\alpha x + (1-\alpha)y) + f((1-\alpha)x + \alpha y)}{2} \leq \frac{f(x) + f(\frac{x+y}{2}) + f(y)}{3}$ 이 모든 볼록 $f$ 에 대해 성립하는 것은 $\alpha \leq \frac{5}{6}$ 인 것과 동치임을 보여준다.
• 예제 4는 $\frac{f(\alpha x + (1-\alpha)y) + f((1-\alpha)x + \alpha y)}{2} \leq \frac{1}{6}f(x) + \frac{2}{3}f(\frac{x+y}{2}) + \frac{1}{6}f(y)$ 가 성립하는 것은 $\alpha \leq \frac{2}{3}$ 인 것과 동치임을 확인한다.