[논문 리뷰] Lie groups over non-discrete topological fields

Helge Glöckner|ArXiv.org|2004. 08. 01.

advanced mathematical theories참고 문헌 31인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 비이산 위상체에 대해 무한차원 리 군 이론을 일반화하여, 연속적 역함수 대수, 사상 군, 시험 함수 군, 미분동형군을 사용한 임의의 이러한 체 위에서 리 군을 구성하는 프레임워크를 수립한다. 주요 기여는 거의 국소적이고 컴팩트 지지가 있는 $ C^k $-사상이 컴팩트 지지가 있는 매끄러운 섹션 공간 간에 $ C^k $-매끄럽다는 것을 증명하는 매끄러움 정리로서, 이는 고전적 리 군 구성 기법을 실수 및 복소수 설정을 초월해 확장할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We generalize the classical construction principles of infinite-dimensional real (and complex) Lie groups to the case of Lie groups over non-discrete topological fields. In particular, we discuss linear Lie groups, mapping groups, test function groups, diffeomorphism groups, and weak direct products of Lie groups. The specific tools of differential calculus required for the Lie group constructions are developed. Notably, we establish differentiability properties of composition and evaluation, as well as exponential laws for function spaces. We also present techniques to deal with the subtle differentiability and continuity properties of non-linear mappings between spaces of test functions. Most of the results are independent of any specific properties of the topological vector spaces involved; in particular, we can deal with real and complex Lie groups modeled on non-locally convex spaces.

연구 동기 및 목표

• 이전에 실수 및 복소수 리 군에 국한되어 있던 고전적 무한차원 리 군 이론을 실수 및 복소수를 초월하여 임의의 비이산 위상체로 확장하는 것.
• 비국소적 볼록 위상벡터공간 위에서 리 군을 구성할 수 있도록 지원하는 비이산 위상체 위의 미분법 프레임워크를 개발하는 것.
• 시험 함수 공간과 매끄러운 섹션 공간 간의 비선형 사상이 미분 가능해지는 조건, 특히 거의 국소적 및 조각 맞춤형 구조에 집중하는 것.
• 선형 군, 사상 군, 미분동형군, 약한 직접곱과 같은 핵심 리 군 구성 기법을 실수 및 복소수 사례를 초월하여 임의의 비이산 위상체로 일반화하는 것.
• 일관된 $ C^k $-미분법을 통해 $ p $-진 및 비아르키메데스 설정을 포함한 국소체 위에서 리 이론의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• Michal-Bastiani 및 Keller의 프레임워크를 일반화하기 위해, 비이산 위상체 위에서의 $ C^k $-미분법을 공리적 접근으로 개발한다.
• 국소적-전역 미분 가능성 처리를 위해 '조각 맞춤형' 위상벡터공간과 제약 사상의 '조각 맞춤형 가족' 개념을 도입한다.
• 한 점에서의 값이 입력의 그레임에만 의존하는 '거의 국소적' 사상의 개념을 사용하여 함수 공간 내의 비선형 행동을 제어한다.
• 평가 및 사상 공간 내의 미분 가능성 분석을 위해 지수 법칙과 복합 사상 기법을 적용한다.
• 만약 사상이 컴팩트 지지 부분공간에서 $ C^k $-이고 국소적으로 거의 국소적이라면 전역적으로 $ C^k $-이다는 것을 보여주는 매끄러움 정리(정리 F.30)를 수립한다.
• 직접 합에 상자 위상을 사용한 위상적 임bedding을 통해 전역 미분 가능성 문제를 국소적 조각별 미분 가능성 문제로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비이산 위상체 위에서 컴팩트 지지가 있는 매끄러운 섹션 공간 간의 비선형 사상이, 도메인이 국소적으로 볼록이 아닐 경우에도 $ C^k $-매끄럽게 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비아르키메데스적 및 비국소적 볼록 위상체 위의 함수 공간에 대해 고전적 지수 법칙과 복합 사상 정리가 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 연속적 역함수 대수 이론이 비이산 위상체로 확장되어, 국소적으로 볼록이 아닌 공간 위에서 리 군을 구성할 수 있는가?
• RQ4 함수 공간 간의 거의 국소적 사상이 국소적 제약 조건으로부터 유도된 미분 가능성 특성을 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ5 만약 어떤 사상이 컴팩트 지지 부분공간에 제한되었을 때 매끄럽다면, 그 사상이 시험 함수 공간 간에서 매끄럽게 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 매끄러움 정리(정리 F.30)는 사상 $ f: P o C^s_c(N, E_2) $ 가 국소적으로 거의 국소적이고 각 컴팩트 지지 부분공간에 제한되었을 때 $ C^k $-매끄럽다면 전역적으로 $ C^k $-매끄럽다는 것을 보여주며, 국소 데이터로부터 전역 미분 가능성을 가능하게 한다.
• 비이산 위상체 위에서 $ C^r $-사상 공간 간의 복합 사상과 평가 사상은 적절한 위상 조건 하에서 $ C^k $-매끄럽다는 것이 입증된다.
• 이 이론은 비국소적 볼록 위상벡터공간 위에서 모델링된 리 군을 구성할 수 있도록 하며, 이는 $ p $-진 및 국소체를 포함한 임의의 비이산 위상체 위에서 가능하다.
• 조각 맞춤형 제약 사상 가족의 사용은 전역 미분 가능성을 상대적으로 컴팩트 열린 집합 위의 국소적 미분 가능성으로 환원할 수 있게 하여, 비선형 사상의 분석을 용이하게 한다.
• 상자 위상을 사용한 직접 합 구성은 함수 공간을 미분 가능성을 조각별로 검증할 수 있는 곱 공간에 임베딩할 수 있게 하며, 이는 전역적 분석에 유리하다.
• 이 프레임워크는 국소체 위의 유한차원 분할가능한 다양체에서의 미분동형군 $ \mathrm{Diff}^r(M) $ 와 $ \mathrm{Diff}^\infty(M) $ 의 구성도 지원하며, 실수 사례를 일반화한다.