[논문 리뷰] "Life after death" in ordinary differential equations with a non-Lipschitz singularity

Theodore D. Drivas, Alexei A. Mailybaev|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 23.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 65인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 비-Lipschitz 특이성을 가진 상미분방정식의 전역 해를 유일하게 선택하기 위해 해에 의존하는 재규격화 절차를 제안한다. 여기서 표준 유일성은 유한시간 폭발 이후에 실패한다. 특이점 주변의 ν-구역에서 벡터장을 부드럽게 하고 ν→0의 극한을 취함으로써, 이 방법은 폭발 이전 및 이후의 역학을 각각 안착자에 의해 지배되는 무한시간 진동으로 매핑하여, 일반적인 경우에 정규화 세부 사항에 의존하지 않는 유일한 해 가족을 도출한다.

ABSTRACT

We consider a class of ordinary differential equations in $d$-dimensions featuring a non-Lipschitz singularity at the origin. Solutions of such systems exist globally and are unique up until the first time they hit the origin, $t = t_b$, which we term `blowup'. However, infinitely many solutions may exist for longer times. To study continuation past blowup, we introduce physically motivated regularizations: they consist of smoothing the vector field in a $ u$--ball around the origin and then removing the regularization in the limit $ u o 0$. We show that this limit can be understood using a certain autonomous dynamical system obtained by a solution-dependent renormalization procedure. This procedure maps the pre-blowup dynamics, $t < t_b$, to the solution ending at infinitely large renormalized time. In particular, the asymptotic behavior as $t earrow t_b$ is described by an attractor. The post-blowup dynamics, $t > t_b$, is mapped to a different renormalized solution starting infinitely far in the past. Consequently, it is associated with another attractor. The $ u$-regularization establishes a relation between these two different "lives" of the renormalized system. We prove that, in some generic situations, this procedure selects a unique global solution (or a family of solutions), which does not depend on the details of the regularization. We provide concrete examples and argue that these situations are qualitatively similar to post-blowup scenarios observed in infinite-dimensional models of turbulence.

연구 동기 및 목표

• 원점에서 비-Lipschitz 특이성을 가진 상미분방정식에서 해가 유한시간 내에 폭발할 수 있는 경우, 해의 비유일성을 해결하기.
• 폭발 이후에도 해의 유일성 또는 제약된 가족을 선택할 수 있는 물리적으로 타당한 정규화 절차를 개발하기.
• 폭발 이전 및 이후 역학을 안착자에 의해 지배되는 무한시간 진동으로 매핑하는 해에 의존하는 재규격화 프레임워크를 수립하기.
• 일반적인 경우에 선택된 해 가족이 정규화 세부 사항에 독립적이며, 이는 강건성과 물리적 관련성을 보장한다.

제안 방법

• 원점 주변의 ν-구역에서 벡터장을 부드럽게 하고 ν→0의 극한을 취함으로써 점성 정규화를 도입하기.
• 유한시간 폭발을 무한시간 역학으로 매핑하기 위해 시간 및 상태 변수를 변형하는 해에 의존하는 재규격화를 적용하기.
• 재규격화된 위상-시간 공간에서의 안착자를 사용하여 폭발 이전 역학의 점근적 행동 분석하기.
• 다른 안착자와 관련된 무한히 과거에서 시작되는 별개의 재규격화된 해를 통해 폭발 이후 역학을 특성화하기.
• ν-정규화를 두 재규격화된 역학 간의 다리로 사용하여 가능한 전역 해에 대한 제약 조건을 규명하기.
• 일반적인 경우에 점성 극한이 정규화 세부 사항에 의존하지 않는 유일한 해 가족(또는 주기적 안착자에 대해 일차원 가속도 가족)을 선택함을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-Lipschitz 특이성을 가진 상미분방정식에서 폭발 이후에도 물리적으로 타당한 정규화 절차가 해를 고유하게 선택할 수 있는가?
• RQ2 해에 의존하는 재규격화 절차는 폭발 이전 및 이후 역학을 어떻게 무한시간 진동으로 변환하는가?
• RQ3 재규격화된 역학에서의 안착자는 가능한 전역 해 집합을 제약하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 선택된 해 가족은 스무딩 함수의 형태와 같은 특정 정규화 세부 사항에 의존하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 난류 모델과 같은 무한차원 시스템의 폭발 이후 행동을 모델링하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 폭발 이전 역학은 재규격화된 위상-시간 공간에서 固定点 안착자로 점근적으로 기술되며, 이는 자가유사적 거듭제곱 법칙 행동과 대응한다.
• 폭발 이후 역학은 무한히 과거에서 시작되는 다른 재규격화된 해로 매핑되며, 이는 별개의 안착자에 의해 지배된다.
• 일반적인 경우에 점성 극한은 정규화 세부 사항(스무딩 함수의 형태 포함)에 독립적인 유일한 해 가족을 선택한다.
• 주기적 안착자에 대해서는 일차원 가속도 가족의 해 선택이 이루어지며, 이는 νn→0의 다양한 기하학적 부분수열에 대응한다.
• 수치적 검증은 해가 점성 극한에서 재규격화된 해 (138)로 수렴함을 확인하였으며, 전체 해 가족은 위상 공간에서 원추형 표면을 이룬다.
• 이 방법은 특이성을 가진 상미분방정식에 대해 보편적인 선택 메커니즘을 제공하며, 보존법칙에서의 엔트로피 선택과 유사하며, 혼돈 안착자 영역에서는 자발적 확률성의 가능성을 시사한다.