[논문 리뷰] Limit complexities revisited [once more]

Laurent Bienvenu, Andrej Muchnik외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 01.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 알고리즘적 무작위성과 콜모고로프 복잡도의 근본적인 결과들에 대한 통합적이고 단순화된 증명을 제공한다. 여기서 조건부 일반 복잡도 $ C(x|n) $ 의 상한극한(limsup)이 $ \mathbf{0}' $-상대화된 일반 복잡도 $ C^{\mathbf{0}'}(x) $ 와 같음을 보이며, 이 틀을 확장하여 순서어휘 복잡도, 사전 확률, 효과적으로 열린 집합, 그리고 한계 빈도에 관한 결과들을 증명한다. 또한 $ \mathbf{0}' $-계산 가능성과 집합의 열거 기법에 기반한 단일이고 우아한 추론을 통해 기존의 $ 2 $-무작위성 기준을 재수집한다.

ABSTRACT

The main goal of this article is to put some known results in a common perspective and to simplify their proofs. We start with a simple proof of a result of Vereshchagin saying that $\limsup_n C(x|n)$ equals $C^{0'}(x)$. Then we use the same argument to prove similar results for prefix complexity, a priori probability on binary tree, to prove Conidis' theorem about limits of effectively open sets, and also to improve the results of Muchnik about limit frequencies. As a by-product, we get a criterion of 2-randomness proved by Miller: a sequence $X$ is 2-random if and only if there exists $c$ such that any prefix $x$ of $X$ is a prefix of some string $y$ such that $C(y)\ge |y|-c$. (In the 1960ies this property was suggested in Kolmogorov as one of possible randomness definitions.) We also get another 2-randomness criterion by Miller and Nies: $X$ is 2-random if and only if $C(x)\ge |x|-c$ for some $c$ and infinitely many prefixes $x$ of $X$. This is a modified version of our old paper that contained a weaker (and cumbersome) version of Conidis' result, and the proof used low basis theorem (in quite a strange way). The full version was formulated there as a conjecture. This conjecture was later proved by Conidis. Bruno Bauwens (personal communication) noted that the proof can be obtained also by a simple modification of our original argument, and we reproduce Bauwens' argument with his permission.

연구 동기 및 목표

• 알고리즘 정보이론에서 한계 복잡도와 $ \mathbf{0}' $-상대화 복잡도에 관한 기존 증명들을 통합하고 단순화하는 것.
• 저지 기반 정리(Vereshchagin의 결과)에 대한 직접적이고 초등적인 증명을 제공하여 복잡한 도구인 낮은 기반 정리(low basis theorem)를 피하는 것.
• 동일한 증명 기법을 순서어휘 복잡도, 이진 트리 위의 사전 확률, 효과적으로 열린 집합의 한계 빈도 등의 다른 설정으로 확장하는 것.
• 단일한, 구조적인 접근 방식을 통해 기존의 $ 2 $-무작위성 기준을 재수집하고 재유도하는 것. 이 접근은 $ \mathbf{0}' $-계산 가능성과 집합의 열거 기법에 기반한다.

제안 방법

• $ \mathbf{0}_{n} $, 즉 $ \mathbf{0}' $ 오라클의 유한 근사값을 사용하여 조건부 복잡도 $ C(x|n) $ 에서 오라클 액세스를 시뮬레이션함. 이에 따라 충분히 큰 $ n $ 에서 $ C(x|n) \leq C^{\mathbf{0}'}(x) + O(1) $ 임을 보임.
• $ C(u|n) < k $ 를 만족하는 모든 문자열 $ u $ 를, 충분히 큰 $ n $ 에 대해, 크기 제약 조건을 고려한 레이어 추가 절차를 사용하여 $ \mathbf{0}' $-계산 가능한 과정이 열거하도록 구성함.
• 동일한 기법을 적용하여 $ \limsup_n C_{\text{pref}}(x|n) = C^{\mathbf{0}'}_{\text{pref}}(x) + O(1) $ 를 증명함으로써, 결과를 순서어휘 복잡도로 확장함.
• $ \mathbf{0}' $-열거를 사용하여, $ \liminf f_n(x) \leq \varphi(x) $ 이고 $ \int \varphi \leq \varepsilon' $ 인 하한 $ \mathbf{0}' $-하향계산 가능한 함수 $ \varphi $ 를 구성함으로써, 패투의 보조정리를 체계적으로 일반화함.
• 동일한 방법을 적용하여 Conidis의 정리(효과적으로 열린 집합의 극한에 관한 것)를 증명함. 이에 따르면, $ \mu(U_n) \leq 1/2 $ 이더라도, $ \liminf U_n $ 이 항상 $ \mathbf{0}' $-효과적으로 열린 집합으로 캐버리지할 수는 없으며, 이 집합의 측도는 $ 3/4 $ 를 초과할 수 없음.
• $ 2 $-무작위성의 기준을 유도함: $ \omega $ 가 $ 2 $-무작위이면, 모든 $ \omega $ 의 접두어 $ x $ 가 $ C(y) \geq |y| - c $ 를 만족하는 어떤 $ y $ 의 접두어가 되는 상수 $ c $ 가 존재함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전 방법보다 더 단순하고 직접적인 추론을 통해 $ \limsup_n C(x|n) $ 와 $ C^{\mathbf{0}'}(x) $ 사이의 연결 고리를 증명할 수 있는가?
• RQ2 동일한 증명 틀이 일반 복잡도와 순서어휘 복잡도와 같은 다양한 알고리즘 복잡도 모델에 균일하게 적용될 수 있는가?
• RQ3 조건부 복잡도의 상한극한을 근사하고 오라클 복잡도와 관련지을 수 있는 구조적인, $ \mathbf{0}' $-계산 가능한 방법이 존재하는가?
• RQ4 낮은 기반 정리를 사용하지 않고, 오직 열거와 오라클 기법만으로 효과적으로 열린 집합의 극한에 관한 결과(Conidis의 정리)를 도출할 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 수열 $ \omega $ 가 무수히 많은 접두어 $ x $ 에 대해 $ C(x) \geq |x| - c $ 를 만족하는가? 이는 $ 2 $-무작위성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• $ C(x|n) $ 의 상한극한이 $ C^{\mathbf{0}'}(x) + O(1) $ 와 같음을 보이며, Vereshchagin의 결과에 대한 새로운 초등적 증명을 제공함.
• 동일한 방법을 사용하여 $ \limsup_n C_{\text{pref}}(x|n) = C^{\mathbf{0}'}_{\text{pref}}(x) + O(1) $ 를 증명함으로써, 결과를 순서어휘 복잡도로 확장함.
• 논문은 $ 2 $-무작위성의 기준을 설정함: $ \omega $ 가 $ 2 $-무작위이면, 모든 $ \omega $ 의 접두어 $ x $ 가 $ C(y) \geq |y| - c $ 를 만족하는 어떤 $ y $ 의 접두어가 되는 상수 $ c $ 가 존재함.
• 효과적으로 열린 집합의 시퀀스 $ U_n $ 에 대해 $ \liminf U_n $ 가 항상 $ \mathbf{0}' $-효과적으로 열린 집합으로 캐버리지될 수는 없음을 증명함. 이는 $ \mu(U_n) \leq 1/2 $ 이더라도, 측도가 $ 3/4 $ 이하인 집합으로는 불가능함을 보여, 효과적 캐버리지의 날카로운 한계를 보여줌.
• 체계적인 패투의 보조정리가 증명됨: 주어진 계산 가능한 하향계산 가능한 함수의 시퀀스 $ f_n $ 이 $ \int f_n \leq \varepsilon $ 를 만족하면, 임의의 $ \varepsilon' > \varepsilon $ 에 대해, $ \liminf f_n \leq \varphi $ 이고 $ \int \varphi \leq \varepsilon' $ 를 만족하는 하한 $ \mathbf{0}' $-하향계산 가능한 함수 $ \varphi $ 를 효과적으로 구성할 수 있음.
• 논문은 기존의 $ 2 $-무작위성 기준을 재수집함: $ \omega $ 가 $ 2 $-무작위이면, 어떤 상수 $ c $ 가 존재하여, 무수히 많은 접두어 $ x $ 에 대해 $ C(x) \geq |x| - c $ 를 만족함. 이는 주요 틀의 따름정리로 도출됨.