[논문 리뷰] Limit Operators, Collective Compactness, and the Spectral Theory of Infinite Matrices

Simon N. Chandler‐Wilde, Marko Lindner|CentAUR (University of Reading)|2010. 05. 02.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 96인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 공동 컴팩트 연산자 이론을 개발하고, 무한행렬 및 수열 공간 위의 연산자에 대한 스펙트럼 분석에 적용하여 프레드홀름성, 무한대에서의 가역성, 본질 스펙트럼에 대한 새로운 특성화를 수립한다. 모든 극한 연산자의 단사성(파바르드 조건)이 거의 평균적 연산자에 대한 넓은 범주에서 가역성을 유도함을 증명하며, $p=1$ 및 $p=∞$에 대한 완전한 특성화를 제공하여 이러한 극한 경우에 대한 스펙트럼 이론에서 오랫동안 남아있던 격차를 해결한다.

ABSTRACT

In the first half of this text we explore the interrelationships between the abstract theory of limit operators (see e.g. the recent monographs of Rabinovich, Roch & Silbermann and Lindner) and the concepts and results of the generalised collectively compact operator theory introduced by Chandler-Wilde and Zhang. We build up to results obtained by applying this generalised collectively compact operator theory to the set of limit operators of an operator $A$. In the second half of this text we study bounded linear operators on the generalised sequence space $\ell^p(\Z^N,U)$, where $p\in [1,\infty]$ and $U$ is some complex Banach space. We make what seems to be a more complete study than hitherto of the connections between Fredholmness, invertibility, invertibility at infinity, and invertibility or injectivity of the set of limit operators, with some emphasis on the case when the operator $A$ is a locally compact perturbation of the identity. Especially, we obtain stronger results than previously known for the subtle limiting cases of $p=1$ and $\infty$. Our tools in this study are the results from the first half of the text and an exploitation of the partial duality between $\ell^1$ and $\ell^\infty$. Results in this second half of the text include a new proof that injectivity of all limit operators (the classic Favard condition) implies invertibility for a general class of almost periodic operators, and characterisations of invertibility at infinity and Fredholmness for operators in the so-called Wiener algebra. In two final chapters our results are illustrated by and applied to concrete examples. Firstly, we study the spectra and essential spectra of discrete Schrödinger operators (both self-adjoint and non-self-adjoint), including operators with almost periodic and random potentials. In the final chapter we apply our results to integral operators on $\R^N$.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 연산자의 스펙트럼 성질을 분석하기 위한 기존 프레임워크를 통합하고 확장하는 일반화된 공동 컴팩트 연산자 이론을 개발하는 것.
• 특히 $p=1$ 및 $p=\infty$에 대해 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 위의 유계 선형 연산자에 대해 프레드홀름성, 무한대에서의 가역성, 극한 연산자의 행동 간의 포괄적인 연결 고리를 구축하는 것.
• 특히 $p=1$ 및 $p=\infty$의 중요한 경우에서의 밴드-도미네이팅 및 위너 대수 연산자의 스펙트럼 이론에 대한 열린 질문을 해결하는 것.
• 고전적인 파바르드 조건(모든 극한 연산자의 단사성)이 거의 평균적 연산자에 대해 가역성을 유도한다는 것을 새로운 증명을 통해 보여주는 것.
• 개발된 이론을 구체적인 문제에 적용하여, 이산 슈뢰딩거 연산자 및 $\mathbb{R}^N$ 위의 적분 연산자에 대해 명시적인 스펙트럼 및 본질 스펙트럼 특성화를 제공하는 것.

제안 방법

• 약한 수렴과 쌍대성을 다루기 위해 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 위의 엄격 위상(strict topology)을 도입하여, 특히 $p=1$ 및 $p=\infty$의 경우에 대해 더 약한 위상에 대해 연속적인 연산자를 분석할 수 있도록 한다.
• 일반화된 공동 컴팩트 연산자 이론을 주어진 연산자 $A$의 연산자 스펙트럼(모든 극한 연산자의 집합)에 적용하여, 컴팩트성과 수렴 성질이 극한 연산자 집합으로 전이되는 조건을 수립한다.
• $\ell^1$과 $\ell^\infty$ 간의 쌍대성 관계를 이용하여 $p=1$ 및 $p=\infty$에 대한 결과를 유도하며, $\ell^1$의 쌍대가 $\ell^\infty$이고 반대로도 성립한다는 사실을 활용하고, 이를 엄격 위상과 연결한다.
• 모든 극한 연산자의 행동을 통해 프레드홀름성과 무한대에서의 가역성을 특성화하여, $A$가 프레드홀름임과 동시에 모든 극한 연산자가 가역임이 동치임을 보인다.
• 밴드-도미네이팅 및 위너 대수 연산자에 이 те올리를 적용하여, 위너 대수 설정에서 프레드홀름성이 모든 극한 연산자의 가역성과 동치임을 증명한다.
• $\mathcal{P}$-수렴과 극한 연산자를 이용하여 본질 스펙트럼을 분석하고, 본질 스펙트럼이 모든 극한 연산자의 스펙트럼의 합집합의 폐쇄와 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 거의 평균적 연산자에 대해 파바르드 조건(모든 극한 연산자의 단사성)이 가역성을 유도하는가? 그리고 일반화된 공동 컴팩트 연산자 이론을 통해 이를 증명할 수 있는가?
• RQ2 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 위의 연산자, 특히 프레드홀름성과 무한대에서의 가역성의 스펙트럼 성질이 $p=1$ 및 $p=\infty$의 극한 경우에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 정리 6.28 (iii)의 균일 유계 조건이 $p \in (1,\infty)$에 대해 여전히 필요한가? 그리고 이 조건의 불필요성은 극한 연산자 스펙트럼의 합집합이 닫혀 있음을 의미하는가?
• RQ4 극한 연산자 이론을 $\mathcal{P}$-수렴 대신 $s$-수렴을 통해 정의된 약한 극한 연산자로 확장할 수 있는가? 그리고 이는 빈약한 연산자들의 클래스에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $L(Y)$ 내에서 순차 수렴 성질을 가진 연산자들의 아이디얼 $S(Y)$가 역원을 갖는가? 이는 연산자 스펙트럼의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 논문은 일반적인 거의 평균적 연산자에 대해 모든 극한 연산자의 단사성(파바르드 조건)이 가역성을 유도함을 증명하며, 일반화된 공동 컴팩트 연산자 이론을 활용한 새로운이고 직접적인 증명을 제공한다.
• 위너 대수 내의 연산자에 대해 프레드홀름성이 모든 극한 연산자의 가역성과 동치이며, 본질 스펙트럼은 모든 극한 연산자의 스펙트럼의 합집합의 폐쇄와 일치함을 보였다.
• 이론은 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 위의 연산자에 대해 프레드홀름성과 무한대에서의 가역성에 대한 완전한 특성화를 제공하며, 이는 이전에 해결되지 않았던 $p=1$ 및 $p=\infty$의 경우를 포함한다.
• 저자들은 정리 6.28 (iii)의 균일 유계 조건이 불필요할 때, 집합 $\bigcup_{B \in \sigma^{\sf op}(A)} \mathrm{spec}(B)$가 닫혀 있음을 보였으며, 이 결과는 $p=1$ 및 $p=\infty$에 대해 증명되었다.
• 새로운 쌍대성 기반 방법이 개발되어 엄격 위상을 통해 $\ell^1$과 $\ell^\infty$를 연결함으로써, $p=1$에서의 결과를 $p=\infty$로, 그 반대로도 확장할 수 있게 되었다.
• 이론은 거의 평균적 및 랜덤 퍼텐셜을 가진 이산 슈뢰딩거 연산자에 성공적으로 적용되어 스펙트럼과 본질 스펙트럼에 대한 명시적인 특성화를 도출하였다.