[논문 리뷰] Limit theorems for supercritical MBPRE with linear fractional offspring distributions

Wenming Hong, Minzhi Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 24.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 분수형 후예 분포를 가진 무작위 환경 속 초임계 다형태 브랜치 프로세스(MBPRE)에 대해 극한 정리들을 수립하며, 강하게 및 중간으로 초임계인 상태 간 국소 확률에서의 단계 전이를 규명한다. 생성 함수 표현과 무작위 보행의 渐近적 성질을 이용하여 조건부 극한 정리들을 도출하고, 초임계 설정에서 희귀 사건(예: 작고 인구 수가 작은 경우)의 감쇠 속도를 정량화한다.

ABSTRACT

We investigate the limit behavior of supercritical multitype branching processes in random environments with linear fractional offspring distributions and show that there exists a phase transition in the behavior of local probabilites of the process affected by strongly and intermediately supercritical regimes. Some conditional limit theorems can also be obtained from the representation of generating functions.

연구 동기 및 목표

• 무작위 환경 속 초임계 다형태 브랜치 프로세스(MBPRE)에서 국소 확률의 점근적 행동을 조사하는 것.
• 프로세스가 강하게 또는 중간으로 초임계일 때에 따라, 작은 인구 수와 같은 희귀 사건의 감쇠 속도에서 발생하는 단계 전이를 규명하는 것.
• 단일 유형 BPRE의 희귀 사건 확률 결과를 생성 함수 표현을 통해 다형태 설정으로 확장하는 것.
• 선형 분수형 후예 분포 하에서 생존 조건 하의 인구 수 분포에 대한 조건부 극한 정리들을 도출하는 것.
• 관련 무작위 보행의 첫 통과 사건과 관련된 무작위 정지 시점에서의 인구 프로세스의 극한 분포를 기술하는 것.

제안 방법

• 무작위 환경 속에서의 브랜치 메커니즘을 모델링하기 위해 선형 분수형 후예 분포의 생성 함수를 사용한다.
• 관련된 환경과 연결된 무작위 보행의 첫 통과 시간과 국소 확률을 분석하기 위해 무작위 보행 이론을 적용한다.
• 양의 행렬에 대한 페르론-프로베니우스 이론을 사용하여 평균 행렬과 그 고유벡터의 점근적 행동을 분석한다.
• 지배 수렴 정리와 모멘트 추정을 통해 생존 확률과 조건부 확률의 점근적 표현을 도출한다.
• 무작위 보행이 특정 수준에 도달하는 첫 번째 시간을 나타내는 정지 시간 $\tau_{n}$을 도입하고, 이 사건에 조건을 붙여 극한 정리를 도출한다.
• 표현식 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z}, \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l) \sim \kappa^n C(\mathbf{z},\mathbf{v}) \Psi_i(\mathbf{z}) T_l(\mathbf{z}) \mathbf{P}(L_n \geq 0)$ 를 사용하여 조건부 극한 분포를 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간이 증가함에 따라 선형 분수형 후예 분포를 가진 초임계 MBPRE의 국소 확률은 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 초임계 영역에서 작은 인구 수의 확률 감쇠 속도에서 발생하는 단계 전이는 무엇인가?
• RQ3 시간 $n$에서 한 개의 입자를 가진 상태에서 생존 조건 하에 인구 수 분포에 대한 조건부 극한 정리들을 수립할 수 있는가?
• RQ4 후예 분포의 구조(특히 선형 분수형)는 프로세스의 점근적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 환경과 관련된 무작위 보행의 첫 통과 시간에서 인구의 극한 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 국소 확률의 감쇠 속도에서 단계 전이가 발생한다: 강하게 초임계인 경우와 중간으로 초임계인 경우의 행동은 상당히 다름을 보인다.
• 조건부 확률 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z} \mid \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l)$ 는 $n \to \infty$ 일 때 한정 확률 측도 $q(\mathbf{z}) = C(\mathbf{z},\mathbf{v}) T(\mathbf{z})$ 로 수렴한다.
• 생존 확률은 $\mathbf{P}(L_n \geq 0) \sim n^{-(1-a)} l(n)$ 로 감쇠하며, 여기서 $a \in (0,1)$ 이다. 이는 환경의 尾행동에 의해 영향을 받는 거듭제곱 감쇠를 나타낸다.
• 공동 확률 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z}, \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l)$ 의 점근적 표현은 $\sim \kappa^n C(\mathbf{z},\mathbf{v}) \Psi_i(\mathbf{z}) T_l(\mathbf{z}) \mathbf{P}(L_n \geq 0)$ 이며, 여기서 $\kappa < 1$ 이다.
• 극한 측도 $q(\mathbf{z})$ 는 $\mathbb{N}_0^K$ 위에서 타당한 확률 분포임을 보여주며, 비퇴화 극한 법칙의 존재를 확인한다.
• 환경의 무작위 보행이 극한에 미치는 기여는 점근적 표현에 나타나는 기대값 $\mathbf{E}_{\mu_k}^+\left[ \frac{(1 - F_{0,k}^{(i)}(\mathbf{F}_{k+1,\infty}(\mathbf{0})))^2}{u_i} \right]$ 을 통해 포착된다.