[논문 리뷰] Limiting distributions for eigenvalues of sample correlation matrices from heavy-tailed populations

Johannes Heiny, Jianfeng Yao|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 08.

Random Matrices and Applications참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기저가 첨도가 높고 정규화 가능한 좌표를 가진 인구에서, 표본 상관계수 행렬의 고유값에 대한 극한 스펙트럼 분포를 규명한다. $α \in (0,2)$ 인 첨도가 높은 분포를 따르는 경우에 대해, 모멘트 방법과 새로운 그래프 수세기 조합 기법을 사용하여 $α$ 와 비율 $γ = p/n$ 에 따라 달라지는 새로운 극한 분포 가족 $H_{\alpha,\gamma}$ 를 유도한다. 이 분포의 모멘트는 고전적인 마르체노-파스트르 분포와 첨도가 높은 기여로 분해된다.

ABSTRACT

Consider a $p$-dimensional population ${\mathbf x} \in\mathbb{R}^p$ with iid coordinates in the domain of attraction of a stable distribution with index $α\in (0,2)$. Since the variance of ${\mathbf x}$ is infinite, the sample covariance matrix ${\mathbf S}_n=n^{-1}\sum_{i=1}^n {{\mathbf x}_i}{\mathbf x}'_i$ based on a sample ${\mathbf x}_1,\ldots,{\mathbf x}_n$ from the population is not well behaved and it is of interest to use instead the sample correlation matrix ${\mathbf R}_n= \{\operatorname{diag}({\mathbf S}_n)\}^{-1/2}\, {\mathbf S}_n \{\operatorname{diag}({\mathbf S}_n)\}^{-1/2}$. This paper finds the limiting distributions of the eigenvalues of ${\mathbf R}_n$ when both the dimension $p$ and the sample size $n$ grow to infinity such that $p/n o γ\in (0,\infty)$. The family of limiting distributions $\{H_{α,γ}\}$ is new and depends on the two parameters $α$ and $γ$. The moments of $H_{α,γ}$ are fully identified as sum of two contributions: the first from the classical Marčenko-Pastur law and a second due to heavy tails. Moreover, the family $\{H_{α,γ}\}$ has continuous extensions at the boundaries $α=2$ and $α=0$ leading to the Marčenko-Pastur law and a modified Poisson distribution, respectively. Our proofs use the method of moments, the path-shortening algorithm developed in [18] and some novel graph counting combinatorics. As a consequence, the moments of $H_{α,γ}$ are expressed in terms of combinatorial objects such as Stirling numbers of the second kind. A simulation study on these limiting distributions $H_{α,γ}$ is also provided for comparison with the Marčenko-Pastur law.

연구 동기 및 목표

• 무한 분산을 갖는 첨도가 높고 정규화 가능한 좌표를 가진 인구에서 표본 상관계수 행렬의 극한 스펙트럼 분포를 특성화하는 것.
• 이전에 두 번째 모멘트가 유한할 경우에만 유효했던 고전적인 랜덤 행렬 이론 결과를 무한 분산 영역으로 확장하는 것.
• 고차원 점점 증가하는 점근적 설정 $p,n \to \infty$ 에서 $p/n \to \gamma$ 에서 극한 고유값 분포 $H_{\alpha,\gamma}$ 의 정확한 형태를 규명하는 것.
• 분포 $H_{\alpha,\gamma}$ 의 모멘트를 분석하고, 고전적인 마르체노-파스트르 분포와 첨도가 높은 기여로 분해됨을 보여주는 것.
• $\alpha = 2$ 에서는 마르체노-파스트르 분포로 복원되고, $\alpha = 0$ 에서는 수정된 포아송 법칙을 유도하는 바, $H_{\alpha,\gamma}$ 의 연속적 확장을 보여주는 것.

제안 방법

• 표본 상관계수 행렬 $\mathbf{R}_n$ 의 고유값 분포의 극한 $k$-번째 모멘트를 계산하기 위해 모멘트 방법을 적용한다.
• 데이터 행렬의 정규화된 원소들에 대한 곱의 표현을 단순화하기 위해 이전 연구에서 유래한 경로 단순화 알고리즘을 사용한다.
• 특히 스틸링 수의 제2종을 포함한 기여하는 구성 요소를 세기 위해 새로운 그래프 수세기 조합 기법을 도입한다.
• 모멘트의 점점 증가하는 행동을 분석함으로써 $n,p \to \infty$ 이면서 $p/n \to \gamma$ 인 조건에서 극한 스펙트럼 분포 $H_{\alpha,\gamma}$ 를 도출한다.
• $\alpha \to 0^+$ 와 $\alpha \to 2^-$ 에서 $\Gamma(1 - \alpha/2)$ 의 점근적 분석을 통해 경계 극한을 연구하기 위해 감마 함수를 사용한다.
• 행렬의 각 행 내에서 의존성을 유도하는 표준화된 행렬 $\mathbf{Y}$ 는 $Y_{ij} = X_{ij}/\sqrt{\sum_{j=1}^n X_{ij}^2}$ 으로 정의되며, 이는 분석을 복잡하게 만든다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 인구 좌표가 i.i.d. 이고 첨도 지수 $\alpha \in (0,2)$ 를 갖는 정규화 가능한 분포를 따를 경우, 표본 상관계수 행렬의 고유값에 대한 극한 스펙트럼 분포는 무엇인가요?
• RQ2 극한 고유값 분포의 모멘트는 고전적인 마르체노-파스트르 법칙과 첨도가 높은 행동으로부터의 기여로 어떻게 분해되나요?
• RQ3 $\alpha \to 0^+$ 와 $\alpha \to 2^-$ 일 때 극한 분포 $H_{\alpha,\gamma}$ 는 어떻게 되며, 연속적 확장을 갖는가요?
• RQ4 표준화로 인해 의존성이 발생하는 상관계수 행렬에 대해 모멘트 방법을 성공적으로 적용할 수 있는가요?
• RQ5 첨도가 높고 고차원 설정에서 모멘트 전개를 지배하는 조합적 구조는 무엇인가요?

주요 결과

• 극한 스펙트럼 분포 $H_{\alpha,\gamma}$ 는 꼬리 지수 $\alpha$ 와 비율 $\gamma = p/n$ 에 따라 달라지는 새로운 분포 가족이다.
• $H_{\alpha,\gamma}$ 의 $k$-번째 모멘트는 고전적인 마르체노-파스트르 법칙과 일치하는 구성요소와 첨도가 높은 의존성으로 인한 다른 구성요소의 합으로 표현된다.
• $\alpha \to 0^+$ 일 때, 극한 분포 $H_{\alpha,\gamma}$ 는 $\mathbb{P}(Z=0) = 1 - \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\gamma}e^{-\gamma}$ 와 $k \geq 1$ 에 대해 $\mathbb{P}(Z=k) = e^{-\gamma}\frac{\gamma^{k-1}}{k!}$ 인 수정된 포아송 분포로 수렴한다.
• $\alpha \to 2^-$ 일 때, $H_{\alpha,\gamma}$ 는 고전적인 마르체노-파스트르 법칙으로 수렴하여 경계에서의 연속성을 확인한다.
• $H_{\alpha,\gamma}$ 의 모멘트는 스틸링 수의 제2종과 터치아르 다항식과 같은 조합적 객체를 통해 완전히 특성화된다.
• 시뮬레이션 연구는 이론적 예측을 확인하고, 특히 꼬리 부분에서 마르체노-파스트르 법칙과 비교해 $H_{\alpha,\gamma}$ 가 뚜렷한 행동을 보임을 시각화한다.