[논문 리뷰] Limsup behaviors of multi-dimensional selfsimilar processes with independent increments

Toshiro Watanabe, Kouji Yamamuro|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 44인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 독립 증분을 갖는 다차원 자기유사 과정에 대해 '상한극한(supremum)' 유형의 반복 로그 법칙을 수립한다. 이는 |X(t)|/(t^H g(|log t|))의 점근적 행동이 거의 확실히 어떤 상수 C ∈ [0, ∞]로 수렴하며, C = 1이 되기 위한 필요 및 충분 조건을 증명한다. 또한 함수 g(t)를 사용하여 t → ∞ 및 t → 0일 때 이러한 과정의 성장률을 분류하고, 자기분해 가능성과 무한히 나누어지는 분포의 성질을 통해 다양한 경우에서 명시적인 상수 C를 규명한다.

ABSTRACT

Laws of the iterated logarithm of "limsup" type are studied for multi-dimensional selfsimilar processes $\{X(t)\}$ with independent increments having exponent $H$. It is proved that, for any positive increasing function $g(t)$ with $\displaystyle \lim_{t o\infty}g(t) = \infty$, there is $C\in [0,\infty]$ such that $\limsup|X(t)|/(t^Hg(|\log t|))= C$ a.s. as $t o\infty $, in addition, as $t o 0$. A necessary and sufficient condition for the existence of $g(t)$ with C=1 is obtained. In the case where $g(t)$ with C=1 does not exist, a criterion to classify functions $g(t)$ according to C=0 or $C=\infty$ is given. Moreover, various "limsup" type laws with identification of the positive constants $C$ are explicitly presented in several propositions and examples. The problems that exchange the roles of $\{X(t)\}$ and $g(t)$ are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 시간 t → ∞ 및 t → 0일 때 다차원 자기유사 과정의 점근적 행동을 다루기.
• lim_{t→∞} g(t) = ∞를 만족하는 일반적인 양의 증가 함수 g(t)에 대해 |X(t)|/(t^H g(|log t|))의 상한극한 행동을 특성화하기.
• 상한극한 상수 C = 1이 되도록 하는 g(t)의 존재를 위한 필요 및 충분 조건을 수립하기.
• C = 1이 달성되지 않을 경우, C = 0 또는 C = ∞를 유도하는 g(t)를 분류하기.
• 특정 자기유사 과정의 클래스에서 상한극한 극한 내의 양의 상수 C를 명시적으로 규명하기 위한 기준과 예시 제공하기.

제안 방법

• 자기유사 추가 과정(Sato 과정)을 시간 1에서 자기분해 가능 분포를 갖는 과정과 자기유사 지수 H > 0를 가진 과정으로 특성화하기.
• 무한 나누어짐과 Lévy-Khintchine 표현을 활용하여 자기분해 가능 분포의 꼬리 행동에 초점을 맞추기.
• 지배적 변화(dominated variation), 하위multiplicativity, O-지수 감소성(O-subexponentiality) 개념을 활용하여 Lévy 측도와 그 복합 측도의 성장 분석하기.
• 복합 포아송 근사 방법을 통해 Lévy 측도의 꼬리와 과정 분포의 꼬리 간 점근적 동치성을 수립하기.
• 정규화된 꼬리 확률의 liminf 및 limsup 행동을 분석하여 C = 1을 위한 필요 및 충분 조건 유도하기.
• Watanabe(2008) 및 Shimura & Watanabe(2005)의 결과를 응용하여 O-지수 감소성 클래스와 꼬리 동치성에 관한 주요 정리 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기유사 과정이 독립 증분을 갖는 경우, t → ∞ 및 t → 0일 때 |X(t)|/(t^H g(|log t|))의 거의 확실한 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 lim_{t→∞} g(t) = ∞를 만족하는 양의 증가 함수 g(t) 중에서 상한극한 상수 C가 1이 되는 것은 어떤 경우인가?
• RQ3 C = 1이 달성되지 않을 경우, 상한극한 상수 C가 0 또는 ∞가 되는 g(t)를 분류하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 특정 자기유사 과정의 클래스에서 상한극한 극한 내의 양의 상수 C를 어떻게 명시적으로 규명할 수 있는가?
• RQ5 자기분해 가능성 및 무한히 나누어지는 분포의 꼬리 성질이 과정의 성장률을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임의의 양의 증가 함수 g(t)에 대해 lim_{t→∞} g(t) = ∞를 만족할 때, |X(t)|/(t^H g(|log t|))의 상한극한은 거의 확실히 상수 C ∈ [0, ∞]로 수렴한다.
• C = 1이 되도록 하는 g(t)의 존재를 위한 필요 및 충분 조건이 도출되었으며, 이는 Lévy 측도의 꼬리 행동과 근원 분포의 자기분해 가능성에 기반한다.
• C = 1이 되는 g(t)가 존재하지 않을 경우, Lévy 측도 꼬리의 성장률에 기반하여 C = 0 또는 C = ∞를 유도하는 g(t)를 분류하는 기준을 제시한다.
• 안정 분포 및 복합 포아송 과정을 포함한 여러 예시에서 상수 C에 대한 명시적 공식을 도출하였다.
• ρ ∈ O(S) (O-지수 감소성)이 성립함과 동시에 자연수 n이 존재하여 Lévy 측도 꼬리의 n중 복합 측도가 또한 O-지수 감소성임이 동치임을 증명하였으며, 이는 꼬리 행동과 상한극한 상수를 연결한다.
• 복합 포아송 근사와 꼬리 동치성을 활용하여 과정 분포의 꼬리가 점근적으로 복합 포아송 분포의 꼬리와 동치임을 증명하였으며, 이는 C의 명시적 규명을 가능하게 한다.