[논문 리뷰] Line bundles on rigid spaces in the $v$-topology

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 퍼펙토이드 체 위의 매끄러운 리지드 공간에 대해 분석적 피카르 군과 $v$-피카르 군의 차이를 기술하는 호지–테이트 로그 수열을 수립한다. 이 수열을 통해, 고립되거나 일차원적인 리지드 공간에서 $v$-선다발은 닫힌 미분형식을 통해 제어됨을 보이며, 아핀 공간 $\mathbb{A}^n$에서는 호지–테이트 로그의 상이 정확히 닫힌 1형식으로 이루어져 있음을 보여, $v$-선다발과 분할을 고려할 때 허그스 다발 사이의 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

For a smooth rigid space $X$ over a perfectoid field extension $K$ of $\mathbb Q_p$, we investigate how the $v$-Picard group of the associated diamond $X^\diamondsuit$ differs from the analytic Picard group of $X$. To this end, we construct a left-exact "Hodge--Tate logarithm" sequence \[0 o \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) o \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) o H^0(X,Ω_X^1)\{-1\}.\] We deduce some analyticity criteria which have applications to $p$-adic modular forms. For algebraically closed $K$, we show that the sequence is also right-exact if $X$ is proper or one-dimensional. In contrast, we show that for the affine space $\mathbb A^n$, the image of the Hodge--Tate logarithm consists precisely of the closed differentials. It follows that up to a splitting, $v$-line bundles may be interpreted as Higgs bundles. For proper $X$, we use this to construct the $p$-adic Simpson correspondence of rank one.

연구 동기 및 목표

• 퍼펙토이드 체 위의 매끄러운 리지드 공간에 대해 분석적 피카르 군과 $v$-피카르 군의 차이를 이해하는 것.
• 분석적 피카르 군 $\mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X)$, $v$-피카르 군 $\mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit)$, 그리고 $H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$를 연결하는 호지–테이트 로그 수열을 구성하는 것.
• 이 수열이 오른쪽 완전한지, 특히 고립되거나 일차원적인 리지드 공간에서인지 판단하는 것.
• $p$-진 모듈라 형식에 적용하고, 계수 1에서 $p$-진 심슨 대응을 수립하는 것.

제안 방법

• 좌측 완전한 호지–테이트 로그 수열을 구성: $0 \to \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) \to \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) \to H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$.
• $p$-진 로그를 사용하여 $v$-선다발에서 휘어진 1형식의 층으로의 사상 정의.
• 공호모로지 기법과 볼 $B_s$ 위의 극한을 사용하여, 고립되거나 일차원적인 리지드 공간에서의 오른쪽 완전성 증명.
• 아핀 공간 $\mathbb{A}^n$의 경우 $B_s \times \mathbb{A}$로 제한하여 로그의 상이 닫힌 미분형식에 놓임을 보이는 분석.
• 데 라무 복합체와 $\mathcal{O}(\mathbb{A}^n)$ 위에서 미분의 정확성에 기반하여, 상에 포함되는 것은 오직 닫힌 형식뿐임을 보임.
• 끌임과 임bedding을 활용하여 고차원의 경우를 $n=2$의 경우로 환원하고, $df \neq 0$일 때 모순을 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리지드 공간의 $v$-피카르 군은 그 분석적 피카르 군과 어떻게 다를까?
• RQ2 고립되거나 일차원적인 리지드 공간에서 호지–테이트 로그 수열은 오른쪽 완전한가?
• RQ3 $\mathbb{A}^n$에서 호지–테이트 로그의 상은 무엇인가?
• RQ4 $p$-진 설정에서 $v$-선다발은 허그스 다발로 해석될 수 있는가?
• RQ5 이 로그 수열을 통해 $p$-진 모듈라 형식에의 응용을 위해 어떤 해석성 기준을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 퍼펙토이드 체 $K$ 위의 매끄러운 리지드 공간 $X$에 대해 좌측 완전한 호지–테이트 로그 수열이 존재한다: $0 \to \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) \to \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) \to H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$.
• 만약 $K$가 대수적으로 닫혀져 있다면, $X$가 고립되거나 일차원적이고 파라콤팩트일 경우 수열은 오른쪽 완전하다.
• 만약 $X = \mathbb{A}^n$이라면, 호지–테이트 로그의 상은 정확히 닫힌 1형식의 공간과 일치한다. 즉, $\mathrm{im}(\mathrm{HT}\log) = H^0(\mathbb{A}^n, \widetilde{\Omega}^1)^{d=0}$.
• $\mathbb{A}^n$ 위의 $v$-선다발은 정확한 형식에 대한 모odulo 닫힌 1형식의 군과 분할을 고려할 때 동형이다.
• 고립된 $X$에 대해 이 호지–테이트 수열을 통해 계수 1에서의 $p$-진 심슨 대응이 수립된다.
• 초수렴성 모듈라 형식의 층이 이 criterion에 의해 해석적임을 보였으며, $v$-선다발이 그의 조밀한 아핀 열린 부분집합에 제한될 때 해석적이라면 전체적으로도 해석적임을 의미한다.