[논문 리뷰] Linear, Second order and Unconditionally Energy stable schemes for The Viscous Cahn-Hilliard Equation with hyperbolic relaxation using the invariant energy quadratization method

Xiaofeng Yang, Jia Zhao|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 09.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 Cahn-Hilliard 방정식에 대한 초순수한 비선형성과 초과속도를 포함하는 경우에 대해, Invariant Energy Quadratization (IEQ) 방법을 사용하여 선형, 두 번째 차수 정확도를 가지며 조건 없이 에너지 안정적인 시간 이산화 방법 두 가지를 제안한다. 비선형 항을 이차형태로 재구성함으로써, 각 시간 단계에서 대칭 양의 정부호 선형 시스템을 효율적으로 풀 수 있으며, 에너지 소산 구조를 엄격하게 유지한다. 이로써 2차원 및 3차원 시뮬레이션에서 두 번째 차수 시간 수렴성과 강력한 안정성을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider numerical approximations for the viscous Cahn-Hilliard equation with hyperbolic relaxation. This type of equations processes energy-dissipative structure. The main challenge in solving such a diffusive system numerically is how to develop high order temporal discretization for the hyperbolic and nonlinear terms, allowing large time-marching step, while preserving the energy stability, i.e. the energy dissipative structure at the time-discrete level. We resolve this issue by developing two second-order time-marching schemes using the recently developed "Invariant Energy Quadratization" approach where all nonlinear terms are discretized semi-explicitly. In each time step, one only needs to solve a symmetric positive definite (SPD) linear system. All the proposed schemes are rigorously proven to be unconditionally energy stable, and the second-order convergence in time has been verified by time step refinement tests numerically. Various 2D and 3D numerical simulations are presented to demonstrate the stability, accuracy and efficiency of the proposed schemes.

연구 동기 및 목표

• 점성 Cahn-Hilliard 방정식에 대한 초과속도가 포함된 경우에 대해, 파라볼릭 및 하이퍼볼릭 역학을 통합하는 고차수, 조건 없이 에너지 안정적인 시간 이산화 방법을 개발한다.
• 특히 双위안 퍼텐셜과 관성 항을 포함한 강한 비선형성과 불안정성 문제를 해결하면서도 시간에 대해 두 번째 차수 정확도를 유지하는 수치적 과제를 해결한다.
• 비선형 해소를 피하면서도 에너지 안정성을 유지하는 IEQ 접근법을 활용하여, 비선형성을 선형화함으로써 계산 효율성을 극대화하는 방법을 설계한다.
• 복잡한 비선형 자유 에너지 밀도를 가진 경량 흐름 문제, 특히 상상 모델에 대해 증명 가능하게 안정적이고 두 번째 차수 정확도를 가지며 쉽게 구현 가능한 방법을 제공한다.
• 기존 방법이 두 번째 차수 정확도, 조건 없이 안정성 또는 선형 구조를 모두 확보하지 못한 VCH-HR 모델에 대해 에너지 안정적 방법의 적용 범위를 확장한다.

제안 방법

• 비선형이며 하한이 존재하는 자유 에너지 항을 이차형태로 재구성하기 위해 Invariant Energy Quadratization (IEQ) 방법을 적용하여, 비선형성의 반명시적 처리를 가능하게 한다.
• 유도된 반연속 시스템은 시간에 대해 완전히 선형화되어 대칭 양의 정부호 (SPD) 선형 시스템을 형성하며, 이는 Krylov 부분공간 해법기법과 질량 뭉치기 조절자와 함께 해석이 가능하다.
• IEQ 프레임워크를 사용하여 두 개의 두 번째 차수 시간 이산화 방법을 구성하였으며, 시간 이산화 수준에서 이산 에너지 소산을 통해 조건 없이 에너지 안정성을 보장한다.
• 방법은 점성 감쇠 항과 하이퍼볼릭 리콜리케이션 항을 모두 암시적으로 처리하여, 일반적으로 존재하는 명시적 처리에서의 시간 단계 제약을 피한다.
• 이 방법은 로그형 및 Flory-Huggins 자유 에너지 퍼텐셜 모두를 다룰 수 있도록 확장되었으며, 상상 모델에 대한 광범위한 적용 가능성을 보여준다.
• 변분 형식은 갈레르킨 유형의 공간 이산화와 일관성을 유지하며, 유한요소 또는 스펙트럼 방법으로의 간편한 확장이 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 비선형성과 관성 항이 존재하는 상황에서도, 두 번째 차수 정확도를 가지며 조건 없이 에너지 안정적인 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 IEQ 방법을 효과적으로 적용하여 복잡한 하한이 존재하는 비선형 퍼텐셜을 에너지 안정성을 잃지 않고 선형화된 이차형태로 변환할 수 있는가?
• RQ3 비선형 해소를 피하면서도 시간에 대해 두 번째 차수 정확도를 유지하는 선형적이고 조건 없이 안정적인 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ4 2D 및 3D 스핀오드 분리 문제에서 제안된 방법의 에너지 소산 및 장기적 역학적 거동은 어떻게 되는가?
• RQ5 이 방법은 복잡한 비선형 자유 에너지 밀도를 가진 다른 경량 흐름 문제로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 조건 없이 에너지 안정적이며, 시간 단계 크기와 관계없이 매 시간 단계에서 이산 에너지가 단조롭게 감소한다.
• 시간 단계 조정 테스트를 통해 두 번째 차수 시간 수렴성이 수치적으로 검증되었으며, 방법의 정확도를 확인한다.
• 각 시간 단계에서 대칭 양의 정부호 선형 시스템만을 풀면 되므로, 질량 뭉치기 조절자와 함께 Krylov 부분공간 해법기법을 통해 효율적인 해석이 가능하다.
• 2D 및 3D 수치 시뮬레이션은 방법의 안정성과 정확성을 입증하며, 램엘라 및 실린더형 구조와 같은 올바른 상분리 역학을 보여준다.
• Flory-Huggins 퍼텐셜의 경우, 최종 평형 상태의 형태는 초기 농도에 따라 달라지며, 무면 조건에서는 구형 구조, 주기적 경계 조건에서는 층상 구조가 형성된다.
• 무면 조건에서는 주기적 조건보다 최종 상태의 에너지가 더 낮으며, 이는 경계 효과가 평형 형태에 영향을 준다는 것을 시사한다.