[논문 리뷰] Local bounds, Harnack inequality and Hölder continuity for divergence type elliptic equations with nonstardard growth

Noemí Wolanski|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 09.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 우측항에 최소한의 적분 조건이 만족될 때, 변수 지수 $p(x)$-성장 조건을 갖는 발산형 타입 타원형 방정식의 음이 아닌 약한 해에 대해 Harnack 부등식을 수립한다. 우측항이 변수 리만 공간 $L^{q_0(x)}(\Omega)$에 속해 있고 $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$일 때, 해의 국소 유계성과 H"older 연속성을 증명하며, 해에 대한 최적의 의존성은 $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\Omega)}^{p_{\max}-p_{\min}}$를 통해 제공된다. 분석은 로그-H"older 연속성 $p(x)$와 강한 최대원리에 대한 장벽 구조에 기반한다.

ABSTRACT

In this paper we obtain a Harnack type inequality for solutions to elliptic equations in divergence form with non-standard $p(x)-$type growth. A model equation is the inhomogeneous $p(x)-$laplacian. Namely, \[ Δ_{p(x)}u:=\mbox{div}\big(| abla u|^{p(x)-2} abla u\big)=f(x)\quad\mbox{in}\quadΩ\] for which we prove Harnack inequality when $f\in L^{q_0}(Ω)$ if $\max\{1,\frac N{p_{min}}\}

연구 동기 및 목표

• 우측항에 최소한의 적분 조건이 만족될 때, 비동차 $p(x)$-라플라스 방정식 $\Delta_{p(x)}u = f(x)$의 음이 아닌 약한 해에 대해 Harnack 부등식을 수립하는 것.
• 우측항 $f \in L^{q_0(x)}(\Omega)$이고 $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$일 때, 약한 해의 국소 유계성과 H"older 연속성을 증명하는 것.
• 일반적인 발산형 타입 타원형 방정식 $\mathrm{div}\,A(x,u,\nabla u) = B(x,u,\nabla u)$에 대해 $p(x)$-형 성장 조건을 갖는 경우로 결과를 확장하는 것.
• Harnack 상수가 해에 대해 최적의 의존성을 가지며, $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\Omega)}^{p_{\max}-p_{\min}}$를 통해 표현되는 것을 제공하는 것. 이는 $L^\infty$ 노름을 피하는 데 기여한다.

제안 방법

• 지수 $p(x)$의 로그-H"older 연속성을 가정하여 변수 지수 공간에서 필요한 컴팩턴스와 정규성을 확보한다.
• 장벽 함수를 형태 $w(x) = A \frac{e^{-\mu|x-x_0|^2/\delta^2} - e^{-\mu}}{e^{-\mu/4} - e^{-\mu}}$로 구성하여 $p(x)$-라플라스 방정식의 하위해를 유도한다.
• 강한 최대원리를 장벽 함수와의 비교를 통해 적용하여, 음이 아닌 해가 내부에서 0이 되면 반드시 식별적으로 0이 되어야 한다는 것을 증명한다.
• 스케일링 기법을 사용하여 문제를 고정된 링형 영역으로 축소하고, 장벽의 $p(x)$-라플라스에 대한 점별 추정을 사용한다.
• $\mu^{-1}e^{\mu|x|^2}M^{-1}|\nabla w|^{2-p(x)}\Delta_{p(x)}w$에 대한 하한을 유도하여, 링형 영역에서 $p(x)$-라플라스의 비양성성을 확보한다.
• 해 $u$와 장벽 $w$를 비교하여 Harnack 부등식을 수립한다. 이는 $u \geq w$이고 $u(y) = 0$이면 $|\nabla u(y)| > 0$이 되어야 하며, 이는 해의 긍정성 집합 경계에서 $C^1$ 연속성과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 우측항 $f \in L^{q_0}(\Omega)$이고 $\max\{1, N/p_{\min}\} < q_0 \leq \infty$일 때, 비동차 $p(x)$-라플라스 방정식에 대해 음이 아닌 약한 해에 대해 Harnack 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 변수 지수 설정에서 Harnack 상수가 해에 대해 최적의 의존성을 가지며, 이는 $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\Omega)}^{p_{\max}-p_{\min}}$로 표현될 수 있는가?
• RQ3 지수 $p(x)$가 로그-H"older 연속일 때, $p(x)$-라플라스 방정식에 대해 강한 최대원리가 성립하는가? 그리고 장벽 방법을 통해 이를 증명할 수 있는가?
• RQ4 우측항이 변수 리만 공간 $L^{q_0(x)}(\Omega)$에 속해 있고 $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$일 때, 약한 해의 국소 유계성과 H"older 연속성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 표준적인 구조 조건 하에 일반적인 발산형 방정식 $\mathrm{div}\,A(x,u,\nabla u) = B(x,u,\nabla u)$에 대해 $p(x)$-형 성장 조건을 갖는 경우로 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 우측항 $f \in L^{q_0}(\Omega)$이고 $\max\{1, N/p_{\min}\} < q_0 \leq \infty$일 때, $\Delta_{p(x)}u = f$의 음이 아닌 약한 해에 대해 Harnack 부등식이 수립되며, 상수는 $\|u^{p(x)}\|_{L^1(\Omega)}^{p_{\max}-p_{\min}}$에만 의존한다.
• Harnack 상수의 해에 대한 의존성은 날카롭고, 이는 이전 연구에서의 반례를 통해 제거될 수 없음을 보여준다.
• 지수 $p(x)$가 로그-H"older 연속일 때, $f \in L^{q_0(x)}(\Omega)$이고 $q_0(x) > \max\{1, N/p(x)\}$이면 약한 해의 국소 유계성과 H"older 연속성이 증명된다.
• 강한 최대원리가 성립한다: $u \geq 0$이고 $\Delta_{p(x)}u \leq 0$이면 연결된 도메인 $\Omega$에서 $u \equiv 0$이거나 $u > 0$이어야 한다. 이는 $p(x)$가 리프시츠 연속일 때 성립한다.
• 장벽 함수가 링형 영역에서 $\Delta_{p(x)}w \geq 0$을 만족하고, 외부 경계에서 $w = 0$, 내부 경계에서 $w = A$를 만족하도록 구성되었으며, 이는 비교 논증을 가능하게 한다.
• 강한 최대원리의 증명은 모순에 기반한다: 만약 $u$가 내부에서 0이 되고 $\nabla u(y) = 0$이지만 장벽 함수에서 $|\nabla w(y)| > 0$이면, 이는 모순이 되며, 이는 $u$가 식별적으로 0이 아니면 내부에서 0이 될 수 없다는 것을 의미한다.