[论文解读] Local Calabi-Yau manifolds of type ilde{A} via SYZ mirror symmetry

Atsushi Kanazawa, Siu-Cheong Lau|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 53被引用 10

一句话总结

本文通过在无限型的 торич Calabi–Yau 流形上使用等变 SYZ 理论，构建了 $ͷ{A}$ 型局部 Calabi–Yau 流形的几何实现，从而建立了其镜像。该镜像以黎曼 theta 函数表示，并推导出开 Gromov–Witten 不变量的生成函数，证明了 Yau–Zaslow 公式的三维类比，为 Hollowood–Iqbal–Vafa 镜像对称猜想提供了数学基础。

ABSTRACT

We carry out the SYZ program for the local Calabi--Yau manifolds of type $\widetilde{A}$ by developing an equivariant SYZ theory for the toric Calabi--Yau manifolds of infinite-type. Mirror geometry is shown to be expressed in terms of the Riemann theta functions and generating functions of open Gromov--Witten invariants, whose modular properties are found and studied in this article. Our work also provides a mathematical justification for a mirror symmetry assertion of the physicists Hollowood--Iqbal--Vafa.

研究动机与目标

• 为无限型的 торич Calabi–Yau 流形发展一种等变 SYZ 理论，以研究 $ͷ{A}$ 型局部 Calabi–Yau 流形的镜像对称性。
• 使用黎曼 theta 函数和开 Gromov–Witten 不变量的生成函数，显式构造 $ͷ{A}$ 型局部 Calabi–Yau 曲面和 3-流形的 SYZ 镜像流形。
• 在局部 Calabi–Yau 3-流形的背景下，为 Hollowood–Iqbal–Vafa 镜像对称猜想提供数学上的合理性解释。
• 揭示 SYZ 框架下开 Gromov–Witten 不变量的生成函数的模形式性质。

提出的方法

• 为处理 $ͷ{A}$ 型几何结构，专门发展了适用于无限型 торич Calabi–Yau 流形的等变 SYZ 理论。
• 利用 SYZ 纤维化将镜像流形构造为阿贝尔簇上的锥纤维丛，其镜像几何由带特征的黎曼 theta 函数编码。
• 将局部 Calabi–Yau 3-流形 $X_{(1,1)}$ 的镜像表示为 $uv = \Delta(\Omega) \cdot \Theta_2(\zeta_1 - \frac{\tau}{2}, \zeta_2 - \frac{\rho}{2}; \Omega)$，其中 $\Theta_2$ 为亏格 2 的黎曼 theta 函数。
• 将开 Gromov–Witten 不变量的生成函数 $\Delta(\Omega)$ 识别为函数 $\phi(q)$ 的高维类比，证明了在 $\widetilde{A}_0$ 情形下 $\phi(q) = \frac{q^{1/24}}{\eta(q)}$。
• 应用 Kodaira 嵌入定理与周期矩阵形式，将镜像阿贝尔簇实现为商空间 $\mathbb{C}^m / (\mathbb{Z}^m \oplus \Omega \mathbb{Z}^m)$。
• 利用平移指数映射，以复坐标 $y_i = e^{2\pi i \delta_i z_i}$ 表达镜像几何，从而建立代数结构与辛结构之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将 SYZ 镜像对称应用于 $\widetilde{A}$ 型局部 Calabi–Yau 流形，特别是在高维情形？
• RQ2 局部 Calabi–Yau 3-流形 $X_{(1,1)}$ 的 SYZ 镜像的精确几何与代数结构是什么？
• RQ3 在 SYZ 框架下，开 Gromov–Witten 不变量的生成函数 $\Delta(\Omega)$ 具有哪些模形式性质？
• RQ4 Hollowood–Iqbal–Vafa 对 $X_{(1,1)}$ 提出的物理镜像对称猜想能否通过 SYZ 几何获得数学上的验证？
• RQ5 在 $\widetilde{A}$ 型几何中，开 Gromov–Witten 不变量与黎曼 theta 函数如何相互作用以构造 SYZ 镜像？

主要发现

• 局部 Calabi–Yau 曲面 $\widetilde{A}_0$ 的 SYZ 镜像为 $uv = \phi(q) \cdot \vartheta(\zeta - \frac{\tau}{2}; \tau)$，其中 $\phi(q) = \frac{q^{1/24}}{\eta(q)}$ 为开 Gromov–Witten 不变量的生成函数。
• 对于局部 Calabi–Yau 3-流形 $X_{(1,1)}$，其 SYZ 镜像被实现为阿贝尔曲面上的锥纤维丛，定义为 $uv = \Delta(\Omega) \cdot \Theta_2(\zeta_1 - \frac{\tau}{2}, \zeta_2 - \frac{\rho}{2}; \Omega)$。
• $X_{(1,1)}$ 的开 Gromov–Witten 不变量的生成函数 $\Delta(\Omega)$ 展现出模形式性质，且推测其与高亏格 Siegel 模形式相关。
• $X_{(1,1)}$ 的镜像曲线是亏格 2 黎曼 theta 函数 $\Theta_2$ 的零点集，从而在几何上确认了 Hollowood–Iqbal–Vafa 镜像对称的断言。
• 本文为 $\widetilde{A}_0$ 情形下的生成函数 $\phi(q)$ 提供了闭合形式表达式，证明了 Yau–Zaslow 公式的开集类比。
• 该构造在开不变量的生成函数与 SYZ 镜像对称中的量子修正之间建立了精确联系，揭示了模形式的作用。