[논문 리뷰] Local correlations in dual-unitary kicked chains

Boris Gutkin, P. A. Braun외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 05.

Quantum many-body systems참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소 헤이지드 행렬을 이용해 구성된 복합 다중 유니터리 킷팅 체인(DuKC)의 광범위한 클래스를 소개하며, 엄밀히 국소적 추적 없는 연산자들이 긴 체인에서 상관관계가 없음을 보여준다. 특수한 하위클래스(DFTC)에서 인접한 자리에 있는 연산자의 두점 상관관계에 대해 닫힌 해석적 표현식을 유도하여, 이중 유니터리 근처에서 국소적 상관관계를 정확하게 평가할 수 있으며, 이는 킷팅 이징 체인에 대해 그림으로도 제시되어 있다.

ABSTRACT

We show that for dual-unitary kicked chains, built upon a pair of complex Hadamard matrices, correlators of strictly local, traceless operators vanish identically for sufficiently long chains. On the other hand, operators supported at pairs of adjacent chain sites, generically, exhibit nontrivial correlations along the light cone edges. In agreement with Bertini et. al. [Phys. Rev. Lett. 123, 210601 (2019)], they can be expressed through the expectation values of a transfer matrix $T$. Furthermore, we identify a remarkable family of dual-unitary models where an explicit information on the spectrum of $T$ is available. For this class of models we provide a closed analytical formula for the corresponding two-point correlators. This result, in turn, allows an evaluation of local correlators in the vicinity of the dual-unitary regime which is exemplified on the kicked Ising spin chain.

연구 동기 및 목표

• 복소 헤이지드 행렬을 사용하여 이중 유니터리 킷팅 체인(DuKC)의 일반적 프레임워크를 개발하여 양자 상관관계의 정확한 분석을 가능하게 한다.
• DuKC에서 국소 연산자 상관관계의 행동을 분석하며, 특히 열역학적 극한과 이중 유니터리 근처에서의 행동을 다룬다.
• 전이 행렬 스펙트럼이 해석적으로 접근 가능한 하위클래스인 이중 푸리에 변환 가능 체인(DFTC)을 식별한다.
• DFTC 모델에서 인접한 자리에 있는 연산자의 두점 상관관계에 대한 닫힌 해석적 표현식을 도출한다.
• 공간-시간 불규칙성을 가진 비균일한 시스템으로 결과를 확장하여, 부식 지수들이 국소 매개변수에 대해 평균화됨을 보여준다.

제안 방법

• L × L 복소 헤이지드 행렬의 쌍을 사용하여 DuKC를 구성하며, 단위 행렬 게이트와 상호작용 항을 단계 함수 f₁과 f₂를 통해 정의한다.
• 플로케트 진화 연산자 U = U_I U_K를 사용하며, U_I는 곱 기저에서 대각형이고, U_K는 국소 유니터리의 텐서곱이다.
• 전이 행렬 T의 추적을 통해 두점 상관관계를 표현하며, T의 차원은 L²이며 체인 길이 N과 무관하다.
• DFTC 하위클래스에서는 공통의 유니터리 변환을 통해 전이 행렬 T를 대각화하여 정확한 스펙트럼 분석이 가능하게 한다.
• T의 고유값을 사용하여 두 인접한 자리에 있는 연산자의 상관관계에 대한 해석적 공식을 유도한다.
• 형식을 킷팅 이징 체인에 적용하여, 이중 유니터리 근처에서 페르투르베이션 보정을 통해 국소 상관관계를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 긴 DuKC 체인에서 엄밀히 국소적 추적 없는 연산자들이 상관관계를 가지는가?
• RQ2 DuKC에서 유한 지지 연산자의 두점 상관관계는 저차원 전이 행렬의 스펙트럼을 통해 표현될 수 있는가?
• RQ3 전이 행렬 스펙트럼이 해석적으로 알려진 DuKC의 하위클래스가 존재하는가? 이 경우 상관관계에 대한 닫힌 표현식이 가능한가?
• RQ4 특히 이징 체인과 같은 모델에서 이중 유니터리 근처에서 국소 상관관계는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 공간-시간 불규칙성이 DuKC에서 상관관계의 부식에 미치는 영향은 무엇이며, 전이 행렬 형식은 어떻게 수정되는가?

주요 결과

• 충분히 긴 DuKC 체인에서 엄밀히 국소적 추적 없는 연산자들의 상관관계는 이중 유니터리 구조로 인해 정확히 0이 된다.
• 인접한 자리에 있는 연산자에 대한 두점 상관관계는 일반적으로 0이 아니며, 전이 행렬 T의 기댓값을 통해 표현될 수 있다.
• DFTC 하위클래스에서는 전이 행렬 T가 하나의 유니터리 변환으로 대각화되어 정확한 스펙트럼 분석이 가능하다.
• DFTC 클래스에서 인접한 자리에 있는 연산자에 대한 두점 상관관계에 대한 닫힌 해석적 공식이 도출되었으며, 이는 T의 고유값에 명시적으로 의존한다.
• 이중 유니터리 근처의 킷팅 이징 체인에서는 국소 상관관계가 C(n,T) ~ δ(n,T) ∏_{i=1}^{n-2} cos 2h_i 로 부식되며, h_i는 국소 자기장이다.
• 공간-시간 불규칙성이 존재할 경우 상관관계의 부식 지수는 국소 지수의 평균값으로 주어지며, T^{n-2}는 국소 게이트 연산자의 곱으로 대체된다.