[논문 리뷰] Local Criteria for Quasirandomness and the Ultraproducts of Quasirandom Groups

Yilong Yang|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 24.

Finite Group Theory Research참고 문헌 13인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 비아벨 유한 단순군의 초곱이 유한 단순군이거나, 비자명한 유한차원 유니터리 표현을 갖지 않는다는 것을 입증한다. 이를 쿼지라운드 군으로 일반화하여, 점점 더 쿼지라운드 성질을 갖는 군들이 특정 구조적 조건 하에서 최소한의 거의 주기성 초곱을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 군 분류 이론과 길이 함수 도구를 활용한다.

ABSTRACT

In this paper, we shall prove that an ultraproduct of non-abelian finite simple groups is either finite simple, or has no finite dimensional unitary representation other than the trivial one. Then we shall generalize this result for other kinds of quasirandom groups. A group is called D- quasirandom if all of its nontrivial representations over the complex numbers have dimensions at least D. We shall study the question of whether a non-principal ultraproduct of a given sequence of quasirandom groups remains quasirandom, and whether an ultraproduct of increasingly quasirandom groups becomes minimally almost periodic (i.e. no non-trivial finite-dimensional unitary representation at all). We answer this question in the affirmative when the groups in question are simple, quasisimple, semisimple, or when the groups in question have bounded number of conjugacy classes in their cosocles (the intersection of all maximal normal subgroups), or when the groups are arbitrary products (not necessarily finite) of the groups just listed. We shall also present with an ultraproduct of increasingly quasirandom groups with a non-trivial one-dimensional representation. We also obtain some results in the case of semi-direct products and short exact sequences of quasirandom groups. Finally, two applications of our results are given, one in triangle patterns of quasirandom groups and one in self-Bohrifying groups. Our main tools are some variations of the covering number for groups, different kinds of length functions on groups, and the classification of finite simple groups.

연구 동기 및 목표

• 쿼지라운드 군의 초곱이 언제 쿼지라운드 성질을 유지하거나 최소한의 거의 주기성이 되는지 규명하는 것.
• 유한 단순군, 쿼지단순군, 반단순군의 초곱의 표현론적 성질을 분석하는 것.
• 유한군의 코소클에서 유한한 수의 공轭류를 갖는 군들과 그 임의의 곱에 대해 결과를 확장하는 것.
• 비자명한 일차원 표현을 갖는 점점 더 쿼지라운드 성질을 갖는 군들의 초곱의 예를 구성하는 것.
• 쿼지라운드 설정에서 준직렬곱과 짧은 정규화열의 초곱에 대해 구조적 행동을 탐색하는 것.

제안 방법

• 유한 단순군의 분류를 활용하여 쿼지라운드 군의 초곱의 구조를 분석하는 것.
• 군 생성과 표현 경계를 연구하기 위해 커버링 수 개념의 변형을 도입하는 것.
• 다양한 유형의 길이 함수를 군에 적용하여 초곱에서 표현 차원을 제어하는 것.
• 비주어진 초필터를 통한 모형이론적 기법을 적용하여 초곱을 구성하고 분석하는 것.
• 모든 최대 정규부분군의 교차인 코소클을 분석하여 공轭류 수를 제한하고 표현론을 통제하는 것.
• 표현론적 제약 조건과 군론적 성질을 조합하여 유니터리 표현의 최소성을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼지라운드 군의 초곱이 언제 쿼지라운드 성질을 유지하는가?
• RQ2 점점 더 쿼지라운드 성질을 갖는 군들의 초곱이 최소한의 거의 주기성이 될 수 있는가(즉, 비자명한 유한차원 유니터리 표현을 갖지 않는가)?
• RQ3 코소클에서 공轭류 수가 유한한 성질이 초곱의 표현론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 쿼지라운드 군의 준직렬곱이나 짧은 정규화열의 초곱을 취할 경우, 유니터리 표현 이론에는 어떤 일이 발생하는가?
• RQ5 점점 더 쿼지라운드 성질을 갖는 군들의 초곱이 여전히 비자명한 일차원 표현을 갖는가?

주요 결과

• 비아벨 유한 단순군의 초곱은 유한 단순군이거나, 비자명한 유한차원 유니터리 표현을 갖지 않는다.
• 단순군, 쿼지단순군, 또는 반단순군의 초곱은 군들이 점점 더 쿼지라운드 성질을 갖는다면 최소한의 거의 주기성이 된다.
• 코소클에서 공轭류 수가 유한한 군들의 초곱은 점점 더 쿼지라운드 성질을 갖는다면 최소한의 거의 주기성이 된다.
• 위의 군 클래스들의 임의의 곱의 초곱 역시 쿼지라운드 성질이 증가하면 최소한의 거의 주기성이 된다.
• 비자명한 일차원 표현을 갖는 점점 더 쿼지라운드 성질을 갖는 군들의 초곱의 명시적 구성이 제공된다.
• 결과는 쿼지라운드 군에서 삼각형 패턴과 자기-보어피그링 군에 적용되며, 구조적 제약 조건을 제공한다.