[논문 리뷰] Local Friedel sum rule on graphs

Christophe Texier, Μ. Büttiker|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2002. 11. 25.

Graph theory and applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 한 점에서 연결된 1차원 와이어로 구성된 양자 그래프에 대해 국소 Friedel 합률을 수립하며, 산란 행렬의 성질과 국소 상태 밀도(LDoS)를 연결한다. 이는 연속(산란) 및 이산(국소화된) 스펙트럼 성분을 모두 포함한다. 특정 지점에 보조 도전을 도입하고, 영 전송 한계를 분석함으로써, 투과도, 방출도 및 부분 LDoS 간의 관계를 유도한다. 이 과정에서 이산 성분은 대칭으로 인해 외부 도전과 결합되지 않는 상태에서 기인하며, 표준 Friedel 합률은 연속 성분에 대해서만 유효한 수정된 Friedel 합률이 도출된다.

ABSTRACT

We consider graphs made of one-dimensional wires connected at vertices and on which may live a scalar potential. We are interested in a scattering situation where the graph is connected to infinite leads. We investigate relations between the scattering matrix and the continuous part of the local density of states, the injectivities, emissivities and partial local density of states. Those latter quantities can be obtained by attaching an extra lead at the point of interest and by investigating the transport in the limit of zero transmission into the additional lead. In addition to the continuous part related to the scattering states, the spectrum of graphs may present a discrete part related to states that remain uncoupled to the external leads. The theory is illustrated with the help of a few simple examples.

연구 동기 및 목표

• 양자 그래프에 대해 산란 행렬 성질과 국소 스펙트럼 양(예: 국소 상태 밀도, 투과도, 방출도)을 연결하는 국소 Friedel 합률을 수립하는 것.
• 외부 도전과 결합되지 않는 특정 상태를 분리하는 대칭성이 있는 그래프에서 국소 상태 밀도의 연속(산란) 및 이산(국소화된) 성분을 모두 고려하는 것.
• 특정 지점에 전송이 0인 보조 도전을 연결함으로써 국소 운반 및 스펙트럼 성질을 추출하는 방법을 개발하는 것.
• 외부 도전과 결합되지 않는 국소화된 상태를 포함한 표준 Friedel 합률을 일반화하여, 산란 행렬과 관련된 것은 오직 국소 상태 밀도의 연속 부분뿐임을 보여주는 것.

제안 방법

• 국소 상태 밀도(LDoS)는 연속 및 이산 기여로 분해된다: ρ(x;E) = ∑α|ψ̃E(α)(x)|² + ∑n ∑j=1^{gn} δ(E−En)|φn,j(x)|². 여기서 첫 번째 항은 산란 상태에 해당하고, 두 번째 항은 국소화된 결합 상태에 해당한다.
• 국소 상태 밀도의 연속 부분은 산란 행렬 Σ를 통해 수정된 Friedel 합률로 연결된다: ρreg(E) = 1/(2iπ) [ d/dE ln det Σ + (1/(4E)) Tr{Σ − Σ†} ].
• 특정 지점에서의 투과도와 방출도는 그 지점에 보조 도전을 연결하고, 전송 진폭을 0으로 한계를 취함으로써 시스템의 반응을 통해 정의되며, 이는 국소 운반 성질을 추출하는 데 사용된다.
• 이 방법은 그래프에서 산란 행렬 형식을 사용하며, 파동함수는 정점에서 연속이고 해밀토니안은 스칼라 포텐셜을 포함한다. 대칭으로 인해 보호되는 국소화된 상태로 인해 스펙트럼은 정규(연속) 및 이산 부분으로 나뉜다.
• 시간 역행 대칭은 그래프의 산란 상태를 그 시간 역행 복사본의 산란 상태와 연결함으로써 분석되며, Σ†(ψ̃^{t.r.})^T = ψ̃† 및 ψ̃^{t.r.} = ψ̃*Σ^T 라는 관계를 보여준다.
• 간단한 예시를 통해 방법을 설명하며, 자기장 투과율이 있는 고리에서는 Friedel 위상 δf가 θ = 0 이거나 θ ≠ 0 인지에 따라 다른 행동을 보이며, θ ≠ 0 일 경우 간격당 2π의 두 번의 점프가 관찰된다.

Figure 1: Ring penetrated by an Aharonov-Bohm flux coupled to two leads. The functional derivative of the scattering matrix at $x$ determines the local quantities: partial density of states, injectivities, emissivities and the local density of states.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 그래프에서 국소 상태 밀도는 산란 상태와 국소화 상태의 기여로 어떻게 분해될 수 있는가?
• RQ2 국소화된 결합 상태가 존재하는 그래프에서 산란 행렬과 국소 상태 밀도의 연속 부분 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 특정 지점에 전송이 0인 보조 도전을 사용하여, 그 지점에서의 투과도와 방출도를 어떻게 정의하고 계산할 수 있는가?
• RQ4 시간 역행 대칭은 자기장 투과율이 있는 양자 그래프에서 산란 상태와 Friedel 위상에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 파장 수 k²와 자기장 투과율 θ에 따라 변하는 고리 그래프에서 Friedel 위상 δf(k²)의 행동은 무엇이며, θ = 0 이냐 θ ≠ 0 이냐에 따라 어떻게 다를까?

주요 결과

• 국소 상태 밀도의 연속 부분은 산란 행렬과 수정된 Friedel 합률을 통해 연결되며, 이는 산란 행렬의 비에르미트 성질을 반영한다.
• 외부 도전과 연결되지 않는 국소화된 상태는 상태 밀도에 이산 δ-함수 성분을 기여시키며, 이는 표준 Friedel 합률이 이를 포괄하지 못한다.
• 자기장 투과율 θ ≠ 0 일 경우 Friedel 위상 δf(k²)는 간격당 두 번의 2π 점프를 보이며, θ = 0 일 경우는 한 번의 점프만 보인다. 이는 degeneracy가 해소되었음을 반영한다.
• k² = 0 에서의 δf 의 불연속성은 θ ≠ 0 일 경우 π 이고, θ = 0 일 경우 0 이며, 이는 투과율에 의해 유도된 위상의 토폴로지적 구분을 보여준다.
• 시간 역행 그래프의 산란 상태는 원래 상태의 복소수 켤레를 통해 Σ†(ψ̃^{t.r.})^T = ψ̃† 관계로 연결되며, 이는 시간 역행 대칭이 산란 진폭에 어떻게 작용하는지를 보여준다.
• 약한 결합 근사에서 공명 에너지 En 근처의 산란 상태는 ψ̃(α)(x) ≈ (1/√π) [iEn^{1/4} wα φn(α)* / (E − En + iΓn)] φn(x) 와 같이 행동하며, 시간 역행 상태는 파동함수 진폭의 복소수 켤레로 다를 수 있다.

Figure 8: Friedel phase $\delta_{f}(k^{2})$ . The coupling is $w=0.25$ and the length $l=1$ . The four curves corresponds to $\theta=1.5$ (squares), $\theta=0.5$ (triangles), $\theta=0.1$ (diamonds) and $\theta=0$ (circles). The two lines are $kl$ and $2kl$ . If $\theta\neq 0$ there are two jumps of