[论文解读] Local Geometric Langlands Correspondence: the Spherical Case

Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|Nov 7, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文建立了临界水平仿射 Kac–Moody 代数上的球对称模范畴与在去掉原点的局部域上无ramified ${\check{G}}$-联络的 ind-概形上的拟相干层范畴之间的范畴等价。该结果通过利用无ramified局部系统堆栈的普遍性质，对表示理论中经典球对称向量构造进行了范畴化，从而实现了局部几何 Langlands 对应关系的一个关键情形。

ABSTRACT

A module over an affine Kac--Moody algebra g^ is called spherical if the action of the Lie subalgebra g[[t]] on it integrates to an algebraic action of the corresponding group G[[t]]. Consider the category of spherical g^-modules of critical level. In this paper we prove that this category is equivalent to the category of quasi-coherent sheaves on the ind-scheme of opers on the punctured disc which are unramified as local systems. This result is a categorical version of the well-known description of spherical vectors in representations of groups over local non-archimedian fields. It may be viewed as a special case of the local geometric Langlands correspondence proposed in arXiv:math/0508382.

研究动机与目标

• 建立临界水平下仿射 Kac–Moody 代数的球对称表示范畴与无ramified ${\check{G}}$-联络模空间上的拟相干层范畴之间的范畴等价。
• 在球对称情形下，通过几何方式实现局部几何 Langlands 对应关系，推广经典球对称向量理论。
• 验证 ${\check{G}}$-局部系统堆栈的猜想普遍性质，作为 $G(\!(t)\!)$ 的范畴表示的参数空间。
• 证明临界水平下球对称模的范畴与 $\operatorname{Rep}(\check{G})$ 等价，后者可解释为 $\operatorname{pt}/\check{G}$ 上的层。

提出的方法

• 构造一个从临界水平下 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$-模的球对称范畴到 $\operatorname{Spec}(\mathfrak{Z}_\mathfrak{g}^{\operatorname{unr}})$ 的拟相干层的导出范畴的函子 $\Psi$，其中 $\mathfrak{Z}_\mathfrak{g}^{\operatorname{unr}}$ 是临界水平范畴中心的谱。
• 利用中心 $\mathfrak{Z}_\mathfrak{g}^{\operatorname{unr}}$ 同构于多项式代数的事实，从而可用自由模进行有限投射分解。
• 应用分解技术，将问题约化到正则点集 $\operatorname{Spec}(\mathfrak{z}_\mathfrak{g}^{\operatorname{reg},\lambda})$ 上的模，其结构更简单。
• 通过归纳法和分解论证，证明函子 $\Psi$ 是正合的，并在任意两个球对称模之间诱导出 $\operatorname{Ext}^i$ 群的同构。
• 利用 $G(\!(t)\!)$ 在 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$-模上的自然作用，以及 $\Psi$ 与该作用的相容性。
• 利用球对称模范畴在无ramified联络的 ind-概形上纤维化，且该纤维等价于 $\operatorname{Rep}(\check{G})$ 的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在球对称情形下通过范畴化方式实现局部几何 Langlands 对应关系？
• RQ2 临界水平下的球对称模与去掉原点的局部域上无ramified ${\check{G}}$-联络的几何之间存在何种精确关系？
• RQ3 临界水平下球对称 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$-模的范畴是否可作为联络模空间上的层而获得几何描述？
• RQ4 在球对称情形下，能否验证堆栈 $\operatorname{Loc}_{\check{G}}(\mathcal{D}^\times)$ 作为 $G(\!(t)\!)$ 的范畴表示参数空间的普遍性质？
• RQ5 是否存在临界水平下球对称 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$-模范畴与 $\operatorname{Rep}(\check{G})$ 之间的典范等价？

主要发现

• 临界水平下球对称 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$-模的范畴与去掉原点的局部域上无ramified ${\check{G}}$-联络的 ind-概形上的拟相干层范畴等价。
• 该等价通过函子 $\Psi$ 实现，该函子保持 $G[[t]]$-等变结构，并与直接极限交换。
• 函子 $\Psi$ 是正合的，并在任意两个球对称模之间诱导出 $\operatorname{Ext}^i$ 群的同构。
• 函子 $\Psi$ 的像是本质满的，因为 $\operatorname{Spec}(\mathfrak{Z}_\mathfrak{g}^{\operatorname{unr}})$ 上的每个有限呈现层都属于其本质像。
• 该结果确认了局部几何 Langlands 对应关系的猜想球对称情形，其中通用参数空间 $\operatorname{Loc}_{\check{G}}(\mathcal{D}^\times)$ 分类了 $G(\!(t)\!)$ 的范畴表示。
• 该构造提供了经典球对称向量理论的范畴化，其中 $\operatorname{Rep}(\check{G})$ 扮演球对称向量空间的角色。