[논문 리뷰] Local Hochschild Homology of Hilbert-Schmidt Operators on Simplicial Spaces

Nicolae Teleman|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 11.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가чёт한, 국소적으로 유한하고 균일한 단체 복합체 $X$ 위의 힐버트-슈미트 연산자에 대한 바나흐 대수의 국소 호크시ลด 호몰로지와 $X$의 앨리오크산-스펜저 호몰로지 사이의 자연스러운 동형사상을 확립한다. 이 결과는 파동장 기반과 호모토피 연산자를 사용하여 지지도 제어된 호크시ลด 복합체를 도입함으로써 달성되며, 표준 호크시ลด 호몰로지가 자명한 바에도 불구하고 이 호몰로지가 $X$의 위상적 불변량을 포착한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Local Hochschild, cyclic Homology and K-theory were introduced by N. Teleman in [10] with the purpose of unifying different settings of the index theorem. This paper is one of the research topics announced in [10], §10. The definition of these new objects inserts the Alexander-Spanier idea for defining the co-homology [8] into the corresponding constructions. This is done by allowing only chains which have smal l support about the diagonal. This definition, applicable at least in the case of the Banach sub-algebras of the algebra of bounded operators on the Hilbert space of L2-sections in vector bundles, differs from various constructions due to A. Connes [1], A. Connes, H.Moscovici [2], M. Puschnigg [7], J. Cuntz [4]. In this paper we prove that the local Hochschild homology of the Banach algebra of Hilbert-Schmidt operators on any countable, locally finite homogeneous simplicial complex X is naturally isomorphic the Alexander-Spanier homology of the space X, Theorem 1. This result may be used to compute the local periodic cyclic homology of the algebra of Hilbert-Schmidt operators on such spaces X. The same result should hold in the case of the algebra of trace class operators L1 as well as in the case of smoothing operators s \subset L 1. In addition, the tools we introduce in this paper should apply also for computing the local Hochschild and periodic cyclic homology of the Schatten class ideals Lp, at least for the other values 1 < p < 2. Parts of what is presented here were stated in author's lecture at the International Alexandroff Reading Conference, Moscow, 21-25 May 2012.

연구 동기 및 목표

• 표준 호크시ลด 호몰로지가 자명한 힐버트-슈미트 연산자에 대한 국소 호크시ลด 호몰로지를 계산하는 것.
• 지지도 제어를 통해 앨리오크산-스펜저 호몰로지 구성법을 호크시ลด 호몰로지에 통합함으로써 인덱스 이론을 통합하는 것.
• 국소 호크시ลด 호몰로지가 표준 호몰로지가 연산자 대수에서 자명한 바에도 불구하고 기저 공간 $X$의 위상을 감지할 수 있음을 보여주는 것.
• 스카펜 $\mathcal{L}^p$ 이상과 트레이스 클래스 연산자로 이 프레임워크를 확장하여 더 넓은 적용 가능성을 제안하는 것.

제안 방법

• 각 체인의 지지도가 대각선의 $\rho$-튜브 이웃 영역 내에 있는 지지도 제어된 호크시ลด 복합체 $C_{p, ho}$ 를 도입한다.
• 호크시ลด 복합체를 갭이 없는 대각선 부분복합체 $C^\Delta_\ast(HS)$ 와 갭이 포함된 부분복합체 $C^0_\ast(HS)$ 로 분해한다.
• 호모토피 연산자 $s$ 를 사용하여 $C^0_\ast(HS)$ 가 약한 순환임을 보이고, 호몰로지 계산을 대각선 부분복합체로 줄인다.
• 대각선 부분복합체에 호모토피 연산자 $S$ 를 정의하여, 임의의 $p$-체인이 항상 고정된 옥시몰로지 기저 원소 $I$ 를 사용하는 체인과 호모토피임을 보여준다.
• 항상 $I$ 를 사용하는 체인으로 이루어진 축소된 대각선 부분복합체 $C^I_\ast(HS)$ 를 정의하고, 그 호몰로지를 계산하기 위해 새로운 호모토피 $\tilde{S}$ 를 구성한다.
• 지지도가 대각선의 이웃 영역에 포함되도록 $X$ 를 세밀한 바리센트 분할로 나누어 동형사상 수립을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 호크시ลด 호몰로지가 자명한 바에도 국소 호크시ลด 호몰로지가 단체 복합체 $X$ 의 위상을 감지할 수 있는가?
• RQ2 힐버트-슈미트 연산자에 대한 국소 호크시ลด 호몰로지와 단체 복합체 $X$ 의 앨리오크산-스펜저 호몰로지 사이에 자연스러운 동형사상이 존재하는가?
• RQ3 호크시ลด 복합체에서의 지지도 제어는 표준 구성에서 잃어버린 위상 정보를 어떻게 복원하는가?
• RQ4 파동장 기반의 옥시몰로지 기저의 구조는 국소 호크시ลด 호몰로지 계산에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이 동형사상은 $1 < p < 2$ 또는 $\mathcal{L}^1$ 인 다른 스카펜 이상으로까지 확장되는가?

주요 결과

• 모든 가чёт한, 국소적으로 유한하고 균일한 단체 복합체 $X$ 에 대해 국소 호크시ลด 호몰로지 $H^{\text{loc}}_p(HS(X))$ 는 앨리오크산-스펜저 호몰로지 $H^{AS}_p(X)$ 와 자연스럽게 동형이다.
• 단체 분할이 충분히 세밀하여 대각선의 $2^{p+2}\epsilon$-근접 영역이 튜브 이웃 영역을 이룰 경우 이 동형사상이 성립한다.
• 전체 호크시ลด 복합체의 호몰로지는 대각선 부분복합체 $C^\Delta_\ast(HS)$ 의 호몰로지로 줄어들며, 이는 호모토피 연산자를 사용해 부분복합체 $C^I_\ast(HS)$ 로 추가로 줄어든다.
• $\theta_p$ 를 $p+1$ 번 적용하면, 임의의 $p$-체인이 각 단체에서 고정된 옥시몰로지 기저 원소 $I$ 를 사용하는 체인과 호모토피가 된다.
• 축소된 대각선 부분복합체 $C^I_\ast(HS)$ 는 호모토피 $\tilde{S}$ 를 통해 전체 국소 호크시ลด 호몰로지를 계산할 수 있으며, 이는 $\theta$ 의 다항식이다.
• 이 구성은 콘스-모스코비치의 정리 3.9 와 독립적이며, 동형사상에 대한 새로운, 자가 포함된 증명을 제공한다.