[논문 리뷰] Local index theory for certain Fourier integral operators on Lie groupoids

Denis Perrot|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 31.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비준거성 및 비等거리 작용을 하는 리 군oids 위에서의 푸리에-적분 연산자에 대한 국소적 인덱스 이론을 수립한다. 진정한 연산자와 그들의 비가환 기호를 연결하는 대수의 짧은 임의의 수열을 구성함으로써 이루어지며, 이는 주로 고정점 집합에서의 비가환 기호의 임펄스를 포함하는 워즈키치 유형의 잔여 공식을 통해 주기적 순환 코homology에서의 연결 사상(Connecting map)을 계산한다. 이는 고전적인 준거성 또는 등거리 작용의 경우를 초월하여 인덱스 정리를 일반화한다.

ABSTRACT

We develop a local index theory for Fourier-integral operators associated to non-proper and non-isometric actions of Lie groupoids on smooth submersions. To such action is associated a short exact sequence of algebras, relating genuine Fourier-integral operators to their non-commutative symbol. We then compute the connecting map induced by this extension on periodic cyclic cohomology. When cyclic cohomology is localized at appropriate isotropic submanifolds of the groupoid in question, we find that the connecting map is expressed in terms of an explicit Wodzicki-type residue formula, which involves the jets of non-commutative symbols at the fixed-point set of the action.

연구 동기 및 목표

• 리 군oids의 비준거성 및 비등거리 작용과 관련된 푸리에-적분 연산자에 대한 인덱스 이론을 확장한다.
• 리 군oids 작용의 맥락에서 진정한 연산자와 그들의 비가환 기호를 연결하는 대수의 짧은 임의의 수열을 수립한다.
• 이 확장에서 주기적 순환 코hom로의 연결 사상을 국소화하여 등방성 부분다양체에서 계산한다.
• 고전적인 준거성 또는 등거리 작용의 경우를 초월하여 인덱스 정리를 일반화하며, 이는 이산군 작용을 포함한다.
• 고정점 집합에서의 비가환 기호의 임펄스를 포함하는 잔여 공식을 통해 에크스큐전 사상(Excision map)을 표현한다.

제안 방법

• 다음과 같은 대수의 짧은 임의의 수열을 구성한다: $0 \to \mathscr{B} \to \mathscr{E} \to \mathscr{A} \to 0$, 여기서 $\mathscr{E}$는 수직 미분연산자의 교차곱 대수이고, $\mathscr{A}$는 작용 군oids $S^{*}_{\pi}M \rtimes G$의 매끄러운 복합 대수이다.
• 주기적 순환 코hom로의 에크스큐전 성질을 이용하여 연결 사상 $E^*: HP^\bullet(\mathscr{B}) \to HP^{\bullet+1}(\mathscr{A})$를 정의한다.
• 등방성 부분다양체 $O \subset G$와 그들의 역상 $\pi^*O \subset S^{\pi}_*M \rtimes G$에서 순환 코hom로를 국소화하여 인덱스 페어링을 정밀화한다.
• 워즈키치 잔여 공식과 고정점 집합에서의 비가환 기호의 임펄스를 사용하여 연결 사상을 표현하는 잔여 공식을 정의한다.
• 기호를 연산자로 올리기 위한 연속 선형 분할 $\sigma: \mathscr{A} \to \mathscr{E}$를 구성하고, 트레이스 공식을 통해 인덱스 페어링을 계산한다.
• 순환 코호몰로지 족의 이미지에 대한 명시적 잔여 표현을 유도하며, 이는 $\mathrm{Res}$ 및 $[\ln Q, \sigma(a)]$ 항을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군oids의 비준거성 및 비등거리 작용과 관련된 푸리에-적분 연산자에 대한 인덱스 이론은 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 확장 $0 \to \mathscr{B} \to \mathscr{E} \to \mathscr{A} \to 0$에 대해 주기적 순환 코hom로에서의 연결 사상의 구조는 무엇인가?
• RQ3 에크스큐전 사상 $E^*$는 기하학적 및 해석적 자료의 관점에서 어떻게 명시적으로 계산될 수 있는가?
• RQ4 고정점 집합에서의 비가환 기호의 임펄스는 인덱스 공식에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 인덱스 페어링은 타원형 연산자의 로그 잔여를 포함하는 워즈키치 유형의 잔여 공식을 통해 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 주기적 순환 코hom로에서의 연결 사상 $E^*$는 군oids 작용의 고정점 집합에서의 비가환 기호의 임펄스를 포함하는 워즈키치 유형의 잔여 공식을 통해 계산된다.
• 에크스큐전 사상은 잔여 페어링으로 표현된다: $\pi^{!}_G(\varphi)((\natural(a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n-1} \mathbf{d}a_n))) = \varphi \circ \mathrm{Res}(\sigma(a_1) \otimes \cdots \otimes [\ln Q, \sigma(a_n)] \cdots)$.
• 짝수 차수의 클래스 $[\varphi] \in HP^0_{\mathrm{top}}(C^\infty_c(B) \rtimes G)_{[O]}$에 대해, $\pi^{!}_G$에 의한 이미지는 비가환 기호의 잔여 공식을 통해 $\mathscr{A}$ 위의 홀수 차수 순환 코호몰로지 족으로 표현된다.
• 홀수 차수의 클래스 $[\varphi] \in HP^1_{\mathrm{top}}(C^\infty_c(B) \rtimes G)_{[O]}$에 대해, 이미지는 $\mathbf{d}\sigma(a_j)$ 항을 포함하는 반복 잔여를 포함하는 짝수 차수 순환 코호몰로지 족으로 표현된다.
• 인덱스 페어링 $\langle [\tau_\varphi], \mathrm{Ind}_E([u]) \rangle$는 $\varphi \circ \mathrm{Res} \sharp \mathrm{tr}(\sigma_*(\hat{u}^{-1})[\ln Q, \sigma_*(\hat{u})])$로 계산되며, 여기서 $Q$는 양의 타원형 일계수 미분연산자이다.
• 이 공식은 작용이 준거성 또는 등거리가 아니어도 성립하는, 비가환 기호 $u$와 $Q$의 로그 잔여를 포함하는 명시적이고 계산 가능한 인덱스 페어링 표현을 제공한다.