[논문 리뷰] Local inverse scattering at fixed energy in spherically symmetric asymptotically hyperbolic manifolds

Thierry Daudé, Damien Gobin외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 02.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 30인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 固定에너지 Dirac 파동 산산스러움을 이용하여 구형 대칭 점점 초구형 다양체에 대한 국소 역산산산스러움 유일성 결과를 확립한다. 구형 대칭을 통해 3차원 산산스러움 문제를 각각 각운동량 $ n $ 에 따라 매개변수화된 1차원 Dirac 방정식의 집합으로 환원함으로써, 왼쪽(또는 오른쪽) 반사 계수를 $ O(e^{-2nB}) $ 오차 내에서 안다면, 해당 끝부분 근처의 계량을 유일하게 결정할 수 있음을 증명한다. 이 근처의 크기는 $ B > 0 $ 에 따라 달라진다.

ABSTRACT

In this paper, we adapt the well-known \\emph{local} uniqueness results of Borg-Marchenko type in the inverse problems for one dimensional Schr{\\"o}dinger equation to prove \\emph{local} uniqueness results in the setting of inverse \\emph{metric} problems. More specifically, we consider a class of spherically symmetric manifolds having two asymptotically hyperbolic ends and study the scattering properties of massless Dirac waves evolving on such manifolds. Using the spherical symmetry of the model, the stationary scattering is encoded by a countable family of one-dimensional Dirac equations. This allows us to define the corresponding transmission coefficients $T(\\lambda,n)$ and reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ and $R(\\lambda,n)$ of a Dirac wave having a fixed energy $\\lambda$ and angular momentum $n$. For instance, the reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ correspond to the scattering experiment in which a wave is sent from the \\emph{left} end in the remote past and measured in the same left end in the future. The main result of this paper is an inverse uniqueness result local in nature. Namely, we prove that for a fixed $\\lambda \ ot=0$, the knowledge of the reflection coefficients $L(\\lambda,n)$ (resp. $R(\\lambda,n)$) - up to a precise error term of the form $O(e^{-2nB})$ with $B\ extgreater{}0$ - determines the manifold in a neighbourhood of the left (resp. right) end, the size of this neighbourhood depending on the magnitude $B$ of the error term. The crucial ingredients in the proof of this result are the Complex Angular Momentum method as well as some useful uniqueness results for Laplace transforms.

연구 동기 및 목표

• 1차원 Schrödinger 연산자에서의 Borg-Marchenko 유형 국소 유일성 결과를 곡률이 있는 3차원/4차원 다양체 위의 역계량 문제로 확장하기.
• 두 개의 끝을 가진 구형 대칭 점점 초구형 다양체(SSAHM)에서 질량이 없는 Dirac 파동에 대한 역산산산스러움을 연구하기.
• 고정 에너지에서의 산산스러움 자료—특히 반사 계수—가 주어졌을 때, 각 끝 근처에서 계량을 국소적으로 어떻게 유일하게 복원할 수 있는지 조건을 규명하기.
• 복소 각운동량 방법과 라플라스 변환 유일성 정리가 이 기하학적 설정에서 역문제에 어떻게 기여하는지 분석하기.
• 오차 항의 감쇠율 $ B $ 에 따라 복원 가능한 이웃 영역의 크기가 달라지는 국소 유일성 결과를 확립하기.

제안 방법

• 구형 대칭을 활용하여 3차원 Dirac 방정식을 각운동량 $ n $ 에 따라 매개변수화된 가чёт한 수의 1차원 Dirac 방정식으로 분해하기.
• 고정 에너지 $ \lambda \neq 0 $ 와 각운동량 $ n $ 에 대해 전파의 전이 및 반사 계수 $ T(\lambda,n) $, $ L(\lambda,n) $, $ R(\lambda,n) $ 정의하기.
• 복소 각운동량 방법을 적용하여 산산스러움 자료를 복소 $ z $-평면에서 반사 진폭의 해석적 구조와 연결하기.
• 라플라스 변환 유일성 결과를 이용하여 반사 계수가 $ O(e^{-2nB}) $ 오차 내에서 일치할 경우 국소 계량 복원이 가능하다는 것을 보이기.
• 반사 진폭의 복소 평면 내 영점 분석을 통해 점 渐近 매개변수 $ \kappa_{\pm} $, $ a_{\pm} $ 에 대한 필요 조건 유도하기.
• 반사 계수가 유리함수로 일치하고, 추가 자료(예: 전이 또는 유한한 수의 반사 값)가 알려져 있을 경우, 계량은 이동을 제외하고 등장하는 것으로 밝혀내기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 에너지에서 반사 계수만 알려진 상태로 3차원 점점 초구형 다양체에서의 국소 유일성 역산산산스러움을 확립할 수 있는가?
• RQ2 반사 계수 자료의 오차 항 $ O(e^{-2nB}) $ 의 감쇠율 $ B $ 가 계량을 유일하게 재구성할 수 있는 영역의 크기에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 복소 각운동량 방법과 라플라스 변환 유일성 정리가 이 기하학적 설정에서 산산스러움 자료로부터 계량을 복원하는 데 얼마나 기여하는가?
• RQ4 전이 또는 반사 계수를 전부 알지 못하는 조건에서 Dirac 파동에 대한 역산산산스러움 문제는 국소적으로 해를 구할 수 있는가?
• RQ5 유한한 수의 반사 계수와 일치하는 전이 자료와 같은 부분 산산스러움 자료로부터 계량을 등장까지 복원할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 고정된 $ \lambda \neq 0 $ 에 대해, 오차 $ O(e^{-2nB}) $ 내에서 왼쪽 반사 계수 $ L(\lambda,n) $ 를 안다면, $ B > 0 $ 에 따라 달라지는 왼쪽 끝 근처의 계량을 유일하게 결정할 수 있다.
• 오른쪽 반사 계수 $ R(\lambda,n) $ 에 대해서도 동일한 결과가 성립하여 오른쪽 끝 근처에서 국소 유일성이 입증된다.
• 반사 계수 $ L(\lambda,n) $ 와 $ \tilde{L}(\lambda,n) $ (또는 $ R $) 가 $ z $ 에 대한 유리함수로 일치하고, 전이 계수 $ T(\lambda,n) $ 가 발산하는 역수 합 $ \sum_{n\in\mathcal{L}} 1/n = \infty $ 인 집합 $ \mathcal{L} $ 에서 일치할 경우, 계량은 이동을 제외하고 등장한다.
• $ \frac{1}{\kappa_+} + \frac{1}{\kappa_-} < 0 $ 일 때, 유한한 수의 반사 값 $ L(\lambda,k) $ 와 발산하는 집합에서의 전이 자료 $ T(\lambda,n) $ 가 일치하면 $ \tilde{a}(x) = a(x + \sigma) $ 를 만족하는 어떤 $ \sigma \in \mathbb{R} $ 가 존재하므로, 다양체는 등장한다.
• 주어진 조건 하에서 점 渐近 매개변수 $ \kappa_\pm $ 와 $ a_\pm $ 는 산산스러움 자료에 의해 유일하게 결정된다.
• 논문은 반사 계수가 유리함수로 일치할 뿐이면 이동을 제외한 유일성 결론을 내릴 수 없다고 추측하며, 이를 열린 문제로 남긴다.