[논문 리뷰] Local spectral radius formulas on compact Lie groups

Nils Byrial Andersen, Marcel de Jeu|ArXiv.org|2008. 05. 26.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $G$가 컴 pact 연결 리군일 때, 복소화된 보편 포락 대수의 중심 원소가 $L^p(G)$ 위에 작용하는 국소 스펙트럼 반경 공식을 수립한다. 군의 유니터리 듀얼 위에서의 푸리에 변환을 통해 이러한 연산자의 국소 스펙트럼을 특성화함으로써, 반복된 작용의 스펙트럼 반경이 함수의 스펙트럼 지지 집합 위에서 $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$의 상한과 일치함을 증명하며, 아벨 리 군이 아닌 군으로의 $\mathbb{R}^d$ 위의 고전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We determine the local spectrum of a central element of the complexified universal enveloping algebra of a compact connected Lie group at a smooth function as an element of L^p(G). Based on this result we establish a corresponding local spectral radius formula.

연구 동기 및 목표

• 컴 pact 리군에 대한 $L^p$-공간으로의 $\mathbb{R}^d$ 위의 국소 스펙트럼 반경 공식을 확장한다.
• 부드러운 함수가 포함된 $L^p(G)$ 위에서 보편 포락 대수의 중심 원소 $D$의 국소 스펙트럼을 특성화한다.
• 비아벨 리 군 위의 유계가 아닌 연산자에 대한 고전적 스펙트럼 반경 공식의 일반화를 수립한다.
• $\widetilde{T}_{D,p}^n f$의 $L^p$-노름에서의 스펙트럼 반경이 $f$의 푸리에 변환의 스펙트럼 지지 집합에 의해 결정됨을 증명한다.

제안 방법

• 왼쪽 불변 미분 연산자로서 $D$의 작용을 분석하기 위해 유니터리 듀얼 $\widehat{G}$ 위의 푸리에 변환을 사용한다.
• $L^p(G)$ 위에서 $D$의 닫힌 확장 $\widetilde{T}_{D,p}$를 정의하며, 이의 정의역은 $Df \in L^p(G)$를 만족하는 함수들로 구성된다.
• 기약 표현 $\pi$에서 $D$의 중심 특성치 $\chi_{\bar{\pi}}(D)$에 대한 집합 $\{ \chi_{\bar{\pi}}(D) \}^{\operatorname{cl}}$를 통해 국소 잔여집합 $\rho_{\widetilde{T}_{D,p}}(f)$를 특성화한다.
• 함수 $\psi_z(\pi) = \frac{{\mathcal{F}}f(\pi)}{\chi_{\bar{\pi}}(D) - z}$의 역 푸리에 변환을 사용하여 해석적 국소 잔여함수를 구성하며, 이는 $\operatorname{supp} {\mathcal{F}}f$ 위에서 $z$에 대해 해석적이게 된다.
• 포함관계를 통한 증명을 통해 국소 스펙트럼이 $\sigma_{\widetilde{T}_{D,p}}(f) = \{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}^{\operatorname{cl}}$ 임을 증명한다.
• 스펙트럼 지지 집합 위에서 $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$의 최대값을 사용하여 $\| \widetilde{T}_{D,p}^n f \|_p^{1/n}$을 유계화함으로써 스펙트럼 반경 공식을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴 pact 리군 위의 중심 미분 연산자에 대해 $L^p$-공간에서 국소 스펙트럼 반경 공식이 성립하는가?
• RQ2 이러한 연산자의 국소 스펙트럼은 함수의 푸리에 변환과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 연산자 $D$의 반복된 작용의 스펙트럼 반경은 함수의 스펙트럼 지지 집합 위에서 중심 특성치 $\chi_{\bar{\pi}}(D)$로 표현될 수 있는가?
• RQ4 $\widetilde{T}_{D,p}$의 국소 스펙트럼은 $\{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}$의 닫힘으로 결정되는가?
• RQ5 모든 $1 \leq p \leq \infty$ 에 대해 국소 스펙트럼 반경 공식이 성립하는가? 이는 $\mathbb{R}^d$ 위에서 $p=1$에 대해 알려진 결과를 일반화하는가?

주요 결과

• 부드러운 함수 $f \in L^p(G)$에 대해 $\widetilde{T}_{D,p}$의 국소 스펙트럼은 $\sigma_{\widetilde{T}_{D,p}}(f) = \{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}^{\operatorname{cl}}$ 로 주어지며, 여기서 $\chi_{\bar{\pi}}(D)$ 는 표현 $\pi$ 에서 $D$의 중심 특성치이다.
• 국소 스펙트럼 반경 공식이 성립한다: $\lim_{n \to \infty} \| \widetilde{T}_{D,p}^n f \|_p^{1/n} = \sup \{ |\chi_{\bar{\pi}}(D)| : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}$.
• 해석적 국소 잔여함수를 구성함으로써 증명이 이루어지며, 이는 $\psi_z(\pi) = \frac{{\mathcal{F}}f(\pi)}{\chi_{\bar{\pi}}(D) - z}$의 역 푸리에 변환을 통해 이루어지며, 이는 $\widehat{G}$ 위에서 슈와르츠 공간에 속하고 $C^\infty(G)$ 내에서 잘 정의된 해석적 가람을 이룬다.
• $L^p$-노름 $\| \widetilde{T}_{D,p}^n f \|_p$ 는 $\left( \sup \{ |\chi_{\bar{\pi}}(D)| : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \} \right)^n$ 의 상수배로 유계화되며, 이는 스펙트럼 반경에 대한 상한을 확립한다.
• 하한은 행렬 계수 $\| {\mathcal{F}}(\widetilde{T}_{D,p}^n f)(\pi) \| = |\chi_{\bar{\pi}}(D)|^n \| {\mathcal{F}}f(\pi) \|$ 를 분석함으로써 확보되며, 이는 각 $\pi$ 에 대해 스펙트럼 반경이 $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$ 이상이 되도록 강제한다.
• 결과적으로 이는 $\mathbb{R}^d$ 위의 고전적 국소 스펙트럼 반경 공식을 컴 pact 리군으로 일반화하며, 푸리에 변환의 역할이 비아벨 군의 유니터리 듀얼 위의 비아벨 푸리에 변환으로 대체됨을 보여준다.