[논문 리뷰] Local Systems of Vertex Operators, Vertex Superalgebras and Modules

Haisheng Li|ArXiv.org|1994. 06. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 대수학에서의 자기형사환(endomorphism ring)에 대응하는 범주론적 개념으로 '정점 연산자 국소계(local system of vertex operators)'의 개념을 도입하며, 이러한 시스템 위에 자연스러운 정점(super)대수 구조를 수립한다. 이 논문은 V-모듈이 정점 연산자 초월대수 V에서 모듈 공간 위의 국소계로의 준동형사상과 정확히 일치함을 증명하고, 이 틀을 활용하여 아핀 대수의 표준 모듈에 대응하는 정점 연산자 초월대수의 유리성(rationality)을 증명하며, 모듈 준동형사상의 일반화로서 일반화된 상호연결 연산자(generalized intertwining operators)를 정의한다.

ABSTRACT

We give an analogue for vertex operator algebras and superalgebras of the notion of endomorphism ring of a vector space by means of a notion of ``local system of vertex operators'' for a (super) vector space. We first prove that any local system of vertex operators on a (super) vector space $M$ has a natural vertex (super)algebra structure with $M$ as a module. Then we prove that for a vertex (operator) superalgebra $V$, giving a $V$-module $M$ is equivalent to giving a vertex (operator) superalgebra homomorphism from $V$ to some local system of vertex operators on $M$. As applications, we prove that certain lowest weight modules for some well-known infinite-dimensional Lie algebras or Lie superalgebras have natural vertex operator superalgebra structures. We prove the rationality of vertex operator superalgebras associated to standard modules for an affine algebra. We also give an analogue of the notion of the space of linear homomorphisms from one module to another for a Lie algebra by introducing a notion of ``generalized intertwining operators.'' We prove that $G(M^{1},M^{2})$, the space of generalized intertwining operators from one module $M^{1}$ to another module $M^{2}$ for a vertex operator superalgebra $V$, is a generalized $V$-module. Furthermore, we prove that for a fixed vertex operator superalgebra $V$ and

연구 동기 및 목표

• 벡터 공간의 자기형사환에 대응하는 정점 연산자 대수의 범주론적 프레임워크를 개발하는 것.
• V-모듈과 모듈 공간 위의 정점 연산자 국소계로의 V에서의 준동형사상 간의 대응을 수립하는 것.
• 정점 연산자 초월대수의 모듈 준동형사상 개념을 일반화하기 위해 '일반화된 상호연결 연산자'를 도입하는 것.
• 아핀 리 초월대수의 표준 모듈과 관련된 정점 연산자 초월대수의 유리성을 증명하는 것.
• 무한차원 리(super)대수의 일부 최저중량 모듈에 자연스러운 정점(super)대수 구조를 부여하는 것.

제안 방법

• 모듈 공간 위의 (super)벡터 공간 M에 대해, 상태-장 대응에 대해 닫혀 있고 국소성을 만족하는 정점 연산자들의 집합으로서 M 위의 정점 연산자 국소계를 정의한다.
• M 위의 임의의 정점 연산자 국소계가 자연스럽게 M을 모듈로 갖는 정점(super)대수 구조를 지닌다는 것을 증명한다.
• V-모듈과 M 위의 정점 연산자 국소계로의 V에서의 정점(super)대수 준동형사상 간의 일대일 대응을 수립한다.
• 두 V-모듈 M¹과 M² 사이의 일반화된 상호연결 연산자들의 공간 G(M¹, M²)를 도입하고, 이 공간이 일반화된 V-모듈의 구조를 지닌다는 것을 증명한다.
• 이 틀을 활용하여 잘 알려진 리(super)대수의 최저중량 모듈 위에 정점 연산자 초월대수의 구조를 구성한다.
• 이 이론을 적용하여 아핀 리 초월대수의 표준 모듈로부터 유도되는 정점 연산자 초월대수의 유리성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 연산자 대수 및 초월대수의 맥락에서 자기형사환 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 V-모듈과 모듈 공간 위의 정점 연산자 국소계로의 V에서의 준동형사상 간의 정확한 대응은 무엇인가?
• RQ3 두 V-모듈 사이의 일반화된 상호연결 연산자는 일반화된 V-모듈의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ4 무한차원 리(super)대수의 어떤 최저중량 모듈이 자연스러운 정점(super)대수 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ5 아핀 리 대수의 표준 모듈과 관련된 정점 연산자 초월대수의 유리성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 (super)벡터 공간 M 위의 정점 연산자 국소계는 자연스럽게 M을 모듈로 갖는 정점(super)대수를 이룬다.
• M 위에 V-모듈의 구조를 주는 것은 M 위의 정점 연산자 국소계로의 V에서의 정점(super)대수 준동형사상을 정의하는 것과 정확히 동치이다.
• 두 V-모듈 M¹과 M² 사이의 일반화된 상호연결 연산자들의 공간 G(M¹, M²)는 일반화된 V-모듈의 구조를 지닌다.
• 아핀 카크-무디 대수와 관련된 것들을 포함하여 잘 알려진 무한차원 리(super)대수의 일부 최저중량 모듈은 자연스러운 정점 연산자 초월대수의 구조를 지닌다.
• 아핀 리 대수의 표준 모듈과 관련된 정점 연산자 초월대수는 유리적이다.
• 이 틀은 정점 연산자 초월대수의 맥락에서 모듈과 상호연결 연산자를 체계적으로 구성하고 분류하는 데 기여한다.