[논문 리뷰] Localisation of the Galilean symmetry and dynamical realisation of Newton-Cartan geometry

Rabin Banerjee, Arpita Mitra외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 14.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 3인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 비상대론적 물질 장 이론에서 갈릴레오 대칭성의 국소화를 통해 뉴턴-카르탕 기하학의 역동적이고 장이론적인 실현을 제시한다. 전역 갈릴레오 군을 게이지화함으로써 주행렬을 통해 비어베인과 접속을 도입함으로써, 저자들은 뉴턴-카르탕 시공간의 비가역 메트릭과 애핀 접속을 게이지 장으로 직접 유도한다. 이는 모든 주요 텐서 및 기하학적 제약 조건을 만족하는 완전히 기하학적이고 상대론적 근거에 의존하지 않는 구조를 수립한다.

ABSTRACT

Newtonian gravity was formulated as a geometrodynamic theory as far back in 1930s by Elie Cartan in what is named aptly as Newton Cartan space time. Though there are several approaches of realizing the algebraic structure of the Newton Cartan geometry from a contraction of the relativistic results, a dynamical (field theoretic) realization of it is lacking. In this paper we present such a realization from the localisation of the Galilean Symmetry of nonrelativistic matter field theories.

연구 동기 및 목표

• 상대론적 축소에 의존하지 않는, 장이론적이고 역동적인 뉴턴-카르탕 기하학 실현을 제공하기 위해.
• 비상대론적 장 이론에서 파oincaré 대칭에서 갈릴레오 대칭으로의 우티야마 유형의 게이지화 절차를 확장하기 위해.
• 뉴턴-카르탕 시공간의 기하학적 대상—비가역 메트릭과 접속—을 국소화된 게이지 장으로 직접 구성하기 위해.
• 유도된 구조가 국소 갈릴레오 변환에 대해 올바르게 변환하고 뉴턴-카르탕 시공간의 기하학적 공리계를 만족하는지 확인하기 위해.
• 비어베인과 접속 장을 갖는 4차원 시공간 다양체를 제1원리에서 충분히 일관되게 뉴턴-카르탕 기하학적 구조로 실현하기 위해.

제안 방법

• 비상대론적 장 이론의 전역 갈릴레오 대칭성을 상수 변환 매개변수를 시공간에 의존하는 함수로 승격시킴으로써 국소화하기 위해.
• 국소 갈릴레오 변환에 대한 불변성을 복원하기 위해 공변 도함수를 도입하고 적분 측도를 수정하기 위해.
• 게이지 장(비어베인, 스핀 접속)으로부터 4×4 역행렬을 갖는 주행렬을 구성하여 기하학적 구조를 통합하기 위해.
• 비어베인 원리에 의해 뉴턴-카르탕 접속을 도출하여, 비가역 공간 및 시간 메트릭과의 호환성을 확보하기 위해.
• 국소화 절차에서 유도된 변환 법칙을 사용하여, 유도된 기하학적 대상이 국소 갈릴레오 변환에 대해 텐서로 제대로 변환하는지 확인하기 위해.
• 명시적으로 시간 1형식 τμ와 공간 메트릭 hμν를 게이지 장으로부터 구성하고, 편미분과 스핀 접속 항을 포함하는 식 (41)의 접속 표현을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 뉴턴-카르탕 기하학은 상대론적 축소에 의존하지 않고, 갈릴레오 대칭성의 국소화를 통해 장이론적이고 역동적인 구조로 실현될 수 있는가?
• RQ2 갈릴레오 대칭성의 국소화에서 유도된 게이지 장은 뉴턴-카르탕 시공간의 기하학적 대상(비어베인, 접속, 메트릭)과 어떻게 대응하는가?
• RQ3 국소화 절차에서 유도된 기하학적 대상은 국소 갈릴레오 변환에 대해 올바른 텐서 변환 법칙을 만족하는가?
• RQ4 유도된 접속 구조는 표준 뉴턴-카르탕 접속과 동치이며, 파oincaré 게이지 이론에서의 리만-카르탕 접속과 유사한 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ5 갈릴레오 대칭성 국소화를 통해 생성된 장들만을 사용하여 4차원 시공간 다양체에 일관되게 뉴턴-카르탕 기하학을 부여할 수 있는가?

주요 결과

• 비상대론적 장 이론에서 갈릴레오 대칭성의 국소화는 뉴턴-카르탕 시공간의 기하학적 구조로 재해석될 수 있는 완전한 장의 집합을 생성한다.
• 시간 1형식 τμ와 공간 메트릭 hμν는 게이지 장으로부터 명시적으로 구성되며, τμ는 절대 시간을 정의하고 hμν는 공간 기하학을 기술한다.
• 비어베인 원리에 의해 도출된 애핀 접속은 식 (41)에 주어진 형태를 가지며, 곡률 유사 항과 스핀 접속 Kλ(μτν) 항을 포함한다.
• 유도된 접속은 필요한 기하학적 성질을 만족한다: 비가역 메트릭과 호환되며, 국소 갈릴레오 변환에 대해 제대로 변환된다.
• 이 구조는 일반 상대성 이론이나 파oincaré 게이지 이론에 완전히 의존하지 않으며, 뉴턴-카르탕 기하학의 제1원리적 장이론 유도를 제공한다.
• 최종 기하학적 구조는 표준 뉴턴-카르탕 시공간과 일치하며, 접속과 메트릭이 모두 정의적 제약 조건을 만족한다. 특히 토르션 텐서의 시간 성분이 0임을 포함한다.