[논문 리뷰] Localization and Chern numbers for weakly disordered BdG operators

Maxim Drabkin, Giuseppe De Nittis외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 01.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 약한 불순물 불규칙성을 가진 보골리우보프-데 near Gennes (BdG) 연산자에서 Aizenman-Molchanov 방법을 사용하여 중심 갭 내의 앤더슨 국소화를 엄밀히 확립한다. 이는 영 에너지 근처에 국소화된 상태가 존재함을 증명한다. 또한, 유니타리 행렬 전달 및 베리 위상 방법을 통해 $p+\imath p$ 및 $d+\imath d$ 파장 초전도체의 차수 수를 계산하며, 갭이 존재하는 조건에서 비자명한 위상적 불변량 ($-1$, $1$, 및 $ olimits \mp 2$) 이 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

After a short discussion of various random Bogoliubov-de Gennes (BdG) model operators and the associated physics, the Aizenman-Molchanov method is applied to prove Anderson localization in the weak disorder regime for the spectrum in the central gap. This allows to construct random BdG operators which have localized states in an interval centered at zero energy. Furthermore, techniques for the calculation of Chern numbers are reviewed and applied to two non-trivial BdG operators, the p+ip wave and d+id wave superconductors.

연구 동기 및 목표

• 약한 불순물 불규칙성을 가진 BdG 연산자의 중심 갭 내에서 Aizenman-Molchanov 방법을 사용하여 앤더슨 국소화를 엄밀히 확립한다.
• 영 에너지 근처에 국소화된 상태를 구성함으로써, 불순물이 있는 BdG 시스템에서 위상적 불변량의 안정성을 입증한다.
• 분석적 및 수치적 기법을 사용하여, 특히 $p+\imath p$ 및 $d+\imath d$ 파장 초전도체에 대해 비자명한 BdG 모델의 차수 수를 계산한다.
• 페르미 프로젝션의 차수 수가 약한 불순물에 대해 안정적이며, 유니타리 전달 행렬 또는 특이점 주위의 루프 적분을 통해 계산될 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 약한 불순물 조건 하에서 BdG 해밀토니안의 중심 갭 내에서 지수적 국소화를 증명하기 위해 Aizenman-Molchanov 방법을 적용한다.
• BdG 해밀토니안의 블록 구조에서 전달 행렬 $T(k_1)$을 구성하여 스펙트럼 성질을 분석하고 수축하는 고유공간을 식별한다.
• 전달 행렬 $T(k_1)$의 수축하는 고유공간에서 $2r \times 2r$ 유니타리 행렬 $U(k_1)$를 정의하며, 이는 베리 위상 적분을 통해 차수 수를 포함한다.
• 공식 $\text{Ch}(P_\mu) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dk_1}{2\pi i} \text{Tr}(U^* \partial_{k_1} U)$ 를 사용하여 유니타리 행렬 $U(k_1)$ 에서 차수 수를 계산한다.
• $d+\imath d$ 모델의 경우, 운동량 공간 내 특이점 주위의 전이 함수 $\theta(k)$ 를 둘러싼 루프 적분을 통해 차수 수를 계산한다.
• 정규화된 고유함수와 전이 함수 방법을 적용하여 벡터 번들의 특이점을 다루며, 블로흐 번들의 특이점 존재 조건 하에서도 차수 수 계산이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 불순물 불규칙성을 가진 BdG 연산자의 중심 갭 내에서 앤더슨 국소화를 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ2 약한 불순물이 있는 랜덤한 BdG 모델에서 영 에너지 근처에 국소화된 상태가 나타나는가, 그리고 그 상태는 안정적인가?
• RQ3 간극이 존재하는 조건에서 $p+\imath p$ 및 $d+\imath d$ 파장 초전도체의 페르미 프로젝션에 대한 차수 수는 무엇인가?
• RQ4 블로흐 번들의 특이점이 존재하는 BdG 해밀토니안에 대해 차수 수를 신뢰성 있게 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 입자-홀 대칭성을 가진 BdG 시스템에서, 약한 불순물 조건 하에서도 위상 불변량(차수 수)이 안정적인가?

주요 결과

• Aizenman-Molchanov 방법을 사용하여 약한 불순물 불규칙성을 가진 BdG 연산자의 중심 갭 내에서 앤더슨 국소화가 엄밀히 증명되었으며, 영 에너지 근처에 국소화된 상태가 존재함을 보장한다.
• $p+\imath p$ 파장 초전도체의 경우, $\mu = -0.5$ 및 $\mu = -0.01$ 에서 차수 수는 $-1$ 이며, $\mu = 0.01$ 에서는 $+1$ 이며, $\mu = 0$ 에서 갭이 닫히는 전이점이 존재한다.
• $d+\imath d$ 파장 초전도체의 차수 수는 $\mu < 4$ 에서 $-2$, $\mu > -4$ 에서는 $+2$ 이며, $|\mu| > 4$ 에서는 차수 수가 0이 된다.
• 차수 수는 전달 행렬 $T(k_1)$ 의 수축하는 고유공간에서 유도된 유니타리 행렬 $U(k_1)$ 를 통해 계산되며, 다음 식을 만족한다: $\text{Ch}(P_\mu) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dk_1}{2\pi i} \text{Tr}(U^* \partial_{k_1} U)$.
• $d+\imath d$ 모델의 경우, 특이점 $k_I = (0,0)$ 과 $k_{II} = (\pi,\pi)$ 주위의 위상 $\theta(k)$ 를 둘러싼 루프 적분을 통해 차수 수가 $\mp 2$ 로 계산되며, 갭 내 비자명한 위상적 성질이 확인된다.
• 페르미 프로젝션의 차수 수는 약한 불순물 조건 하에서도 안정적이며, 중심 갭이 열려 있는 한 위상 불변량은 견고하다.