[논문 리뷰] Localization transition in disordered pinning models. Effect of randomness on the critical properties

Fabio Lucio Toninelli|ArXiv.org|2007. 03. 30.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 쿨드 불확실성(disordered) 핀닝 모델에서의 국소화 전이를 조사한다. 여기서 이완된 고무줄(지향된 고무줄)은 1차원 결함선과 상호작용하며, 고정된 불확실성(quenched disorder)을 가진다. 재생 이론, 대규모 편차 이론, 평균장 스핀글라스 기법을 사용하여, 꼬리 감쇠 지수 α < 1/2일 경우 불확실성이 무시 가능하며, 이는 동질적 경우와 동일한 임계 지수를 가지며, α > 1/2일 경우 불확실성이 유의미해지며 비섭동적으로 임계 행동을 변화시킴을 엄밀히 입증한다.

ABSTRACT

These notes are devoted to the statistical mechanics of directed polymers interacting with one-dimensional spatial defects. We are interested in particular in the situation where frozen disorder is present. These polymer models undergo a localization/delocalization transition. There is a large (bio)-physics literature on the subject since these systems describe, for instance, the statistics of thermally created loops in DNA double strands and the interaction between (1+1)-dimensional interfaces and disordered walls. In these cases the transition corresponds, respectively, to the DNA denaturation transition and to the wetting transition. More abstractly, one may see these models as random and inhomogeneous perturbations of renewal processes. The last few years have witnessed a great progress in the mathematical understanding of the equilibrium properties of these systems. In particular, many rigorous results about the location of the critical point, about critical exponents and path properties of the polymer in the two thermodynamic phases (localized and delocalized) are now available. Here, we will focus on some aspects of this topic - in particular, on the non-perturbative effects of disorder. The mathematical tools employed range from renewal theory to large deviations and, interestingly, show tight connections with techniques developed recently in the mathematical study of mean field spin glasses.

연구 동기 및 목표

• 고정된 불확실성이 핀닝 모델의 임계 성질에 어떻게 영향을 미치는지, 특히 국소화/비국소화 전이에 대해 이해하는 것.
• 엄밀한 수학적 방법을 사용하여 불확실성이 임계 행동에 대해 언제 무시 가능하거나 유의미한지 판단하는 조건을 규명하는 것.
• 재생 측도의 꼬리 지수 α가 헤리스 기준(Harris criterion)을 통해 불확실성의 유의미성을 결정하는 방식을 분석하는 것.
• 고정 및 평균화된 설정에서 상관 길이와 자유 에너지에 대한 날카운 경계를 확립하는 것.
• 불확실성 핀닝 모델의 수학적 분석을 평균장 스핀글라스 기법과 연결하여 깊이 있는 구조적 유사성을 드러내는 것.

제안 방법

• 결함 위치에서 독립적이고 동일하게 분포된 상호작용 강도를 가진 재생 과정의 변형으로 불확실한 핀닝 모델을 수립한다.
• 고정 자유 에너지를 변분 상한으로 사용하고, 고정 및 평균 자유 에너지를 비교하기 위해 보간 기법을 적용한다.
• 레플리카 결합과 대규모 편차 추정을 사용하여 α < 1/2일 경우 불확실성이 무시 가능함을 증명하며, 임계 지수가 동질적 경우와 일치함을 보인다.
• 타우버리안 정리(Tauberian theorems)를 사용하여 재생 측도의 渐近 행동과 자유 에너지 및 상관 길이 스케일링을 연결한다.
• 베셀 과정과의 결합 논증을 통해 고정 및 평균 상관 함수에 대한 지수 감쇠 경계를 유도한다.
• 고정된 경우 상관 길이가 μ → 0일 때 μ^{-1}의 순서로 스케일링되며, 이는 자유 에너지 F(β,h)와 불확실성 강도에 의해 제어됨을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 불확실성이 핀닝 모델의 임계 행동에 대해 언제 무시 가능한가?
• RQ2 재생 측도의 꼬리 지수 α가 헤리스 기준을 통해 불확실성의 유의미성을 어떻게 결정하는가?
• RQ3 임계점 근처에서 고정 및 평균 시스템의 상관 길이 정확한 스케일링은 어떻게 되는가?
• RQ4 특히 α > 1/2일 경우 불확실성의 존재가 임계 지수와 자유 에너지에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 평균장 스핀글라스 기법, 예를 들어 레플리카 결합 기법이 불확실성 핀닝 모델에 얼마나 적용 가능한가?

주요 결과

• α < 1/2일 경우, 불확실성은 무시 가능하다: 고정 모델의 임계점과 임계 지수는 동질적 모델과 정확히 일치한다.
• α > 1/2일 경우, 불확실성은 유의미하며 비섭동적으로 임계 행동을 변화시켜 다른 임계 지수와 수정된 상태도를 초래한다.
• 고정된 상관 길이는 최소한 F(β,h)^{1+ε}의 비율로 지수 감쇠하며, F(β,h)는 자유 에너지이고 계수는 거의 확실히 유한하다.
• 평균 상관 함수는 최소한 μ(β,h)^{1+ε}의 비율로 지수 감쇠하며, μ(β,h)는 자유 에너지이고 계수는 균일하게 유계이다.
• 고정된 경우 상관 길이는 μ^{-1}의 순서이며, 감쇠 비율은 자유 에너지와 불확실성 강도에 의해 제어된다.
• 결과는 헤리스 기준 α_c = 1/2가 불확실성의 유의미성에 대한 날카운 임계값임을 확인하며, 고정 및 평균 설정에서 상관의 감쇠에 대한 엄밀한 경계를 제공한다.