[논문 리뷰] Localizing the Elliott Conjecture at Strongly Self-absorbing C*-algebras --An Appendix

Huaxin Lin|ArXiv.org|2007. 09. 11.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 8인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 국소 유한한 분해 계수와 유한 생성된 $K$-이론을 가진 단위 원소를 가진 분리 가능하고 단순한 아미아블 ${\cal Z}$-흡수 $C^*$-대수에 대한 W. Winter의 분류 결과에 기초한 기술적 지원을 제공한다. 이는 두 대수가 그들의 에lliott 불변량이 일치할 경우에 그들에 ${\cal Z}$를 텐서곱한 결과가 $*$-동형임을 증명하며, $KK$-이론에서의 점점 가까운 유니터리 동치와 로테이션 사상들을 사용하여 $KK$-동형을 UHF 대수와의 텐서곱을 통해 올리는 데에 기여한다.

ABSTRACT

This note provides some technical support to the proof of a result of W. Winter which shows that two unital separable simple amenable ${\cal Z}$-absorbing C*-algebras with locally finite decomposition property satisfying the UCT whose projections separate the traces are isomorphic if their $K$-theory is finitely generated and their Elliott invariants are the same.

연구 동기 및 목표

• 국소 유한한 분해 계수를 가진 ${\cal Z}$-흡수 $C^*$-대수의 분류에 대한 W. Winter 결과에 기초한 기술적 기초를 제공한다.
• UHF 대수와의 텐서곱을 통해 $KK$-동형이 $*$-동형으로 올라가는 조건을 설정한다.
• 점점 가까운 유니터리 동치를 결정하는 데 있어 로테이션 사상 $R_{\varphi,\psi}$와 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2}$ 불변량의 역할을 분석한다.
• 일부 $K$-이론 조건(토르 부분군이 자유이거나 소수 순서가 없는 경우) 하에서, $KK$-동형이 ${\cal Z}$와의 텐서곱을 거쳐 동형으로 올라간다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 호모모르피즘 $\varphi, \psi: A \to B$ 간의 관계를 $Ext(A, SB)$와 $KK^1(A, SB)$에 있는 확장과 연결하기 위해 매핑 토러스 구성 $M_{\varphi,\psi}$를 사용한다.
• 유니터리 $u(t)$에 대해 적분 $\frac{1}{2\pi i} \int_0^1 \tau(\frac{du}{dt} u^* ) dt$를 통해 $R_{\varphi,\psi}: K_1(M_{\varphi,\psi}) \to \text{Aff}(T(B))$ 를 정의한다.
• Dadarlat-Loring의 $KK$-이론에서의 분할 정확수열을 적용하여, $A$가 UCT를 만족할 경우 $K_1(M_{\varphi,\psi}) \cong K_0(B) \oplus K_1(A)$로 분해한다.
• $\theta(K_1(A)) \subset \ker R_{\varphi,\psi}$를 보장하는 데 사용되는 불변량 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2} = 0$을 도입한다. 이는 로테이션의 자명성을 보장한다.
• 정리 2.5를 활용하여, $[\varphi_1] = [\varphi_2]$ in $KK$, $\tau \circ \varphi_1 = \tau \circ \varphi_2$, 그리고 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2} = 0$일 경우 $\varphi_1, \varphi_2$가 강한 점점 가까운 유니터리 동치임을 증명한다.
• $KK$-요소를 통해 $\sigma_{\mathfrak{p}}: A \otimes M_{\mathfrak{p}} \to B \otimes M_{\mathfrak{p}}$와 $\rho_{\mathfrak{q}}: A \otimes M_{\mathfrak{q}} \to B \otimes M_{\mathfrak{q}}$의 동형을 구성하고, 이들의 호환성을 이용하여 $A \otimes \mathcal{Z} \cong B \otimes \mathcal{Z}$로 올린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 ${\cal Z}$-흡수 $C^*$-대수 간의 $KK$-동형이 UHF 대수와의 텐서곱을 거친 후 $*$-동형으로 올라가는 조건은 무엇인가?
• RQ2 로테이션 사상 $R_{\varphi,\psi}$는 점점 가까운 유니터리 동치의 장애물들을 어떻게 감지하는가?
• RQ3 $\tilde{\eta}_{\varphi_1,\varphi_2}$ 불변량은 $KK$-동형이 동형으로 올라가는 데 있어 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $K_0$와 $K_1$의 토르 부분군에서 공통 소수 순서가 없는 경우, $KK$-동형이 동형으로 올라가는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 모든 UHF 대수 $C$에 대해 $A \otimes C$가 트레이스 랭크 0을 가진다는 사실로부터 $A$ 자체가 트레이스 랭크 0을 가진다고 추론할 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $A$와 $B$가 국소 유한한 분해 계수와 유한 생성된 $K$-이론을 가진 단위 원소를 가진 분리 가능하고 단순한 아미아블 ${\cal Z}$-흡수 $C^*$-대수이며, 그들의 에lliott 불변량이 동형이라면, $A \otimes \mathcal{Z} \cong B \otimes \mathcal{Z}$이다.
• 만약 $Tor(K_0(A))$와 $Tor(K_1(A))$가 공통 소수 순서를 갖지 않는다면, 상호소수인 초자연수 $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$가 존재하여 $i=0,1$일 때 $K_i(A \otimes M_{\mathfrak{p}})$는 토르 자유이다.
• $\sigma_{\mathfrak{p}} \otimes \text{id}_{M_{\mathfrak{q}}}$와 $\rho_{\mathfrak{q}} \otimes \text{id}_{M_{\mathfrak{p}}}$는 강한 점점 가까운 유니터리 동치이며, 이는 $KK$-동형의 올림을 가능하게 한다.
• $K_i(A) = Tor(K_i(A)) \oplus G_i$이고 $G_i$가 토르 자유일 경우, $A \otimes M_{\mathfrak{p}}$는 약한 무퍼포레이션을 가진 $K_0$와 토르 자유 이미지를 가진 $K_1$을 가지며, 이는 $KK$-동형의 올림을 지원한다.
• 단위 원소를 가진 분리 가능하고 단순한 ${\cal Z}$-흡수 ASH 대수 $A$가 추적을 분리하는 프로젝션을 가지며 $K_0(A)$가 라이프스 보존 성질을 만족할 경우, $K_0(A)/Tor(K_0(A)) \not\cong \mathbb{Z}$이면, $A$는 트레이스 랭크 0을 가지며, 차원 증가 없이 실수 랭크 0을 가진 AH 대수와 동형이다.
• 결과적으로, 동일한 $K$-이론 조건 하에서, $A \cong B \otimes \mathcal{Z}$이며, $B$는 실수 랭크 0이고 차원 증가가 없는 단순한 AH 대수이다.