[논문 리뷰] Locally conformal Kaehler reduction

Rosa Gini, Liviu Ornea외 1명|ArXiv.org|2002. 08. 27.

Microtubule and mitosis dynamics참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 동형 Kähler (LCK) 다양체에 대해 비틀린 해밀턴 작용에 대한 운동량 맵을 정의하여 새로운 감소 이론을 수립한다. 이는 비공개된 Biquard-Gauduchon의 구성과 동치임을 증명한다. 또한 LCK 감소가 기본 덮개의 켈러 감소와 Sasaki 감소와 호환됨을 보이며, 구와 복소 사영 공간 위의 가중 Sasaki 구조의 감소를 통해 새로운 Vaisman 다양체를 구성할 수 있다.

ABSTRACT

We define reduction of locally conformal Kaehler manifolds, considered as conformal Hermitian manifolds, and we show its equivalence with an unpublished construction given by Biquard and Gauduchon. We show the compatibility between this reduction and Kaehler reduction of the universal cover. By a recent result of Kamishima and the second author, in the Vaisman case (that is, when a metric in the conformal class has parallel Lee form) if the manifold is compact its universal cover comes equipped with the structure of Kaehler cone over a Sasaki compact manifold. We show the compatibility between our reduction and Sasaki reduction, hence describing a subgroup of automorphisms whose action causes reduction to bear a Vaisman structure. Then we apply this theory to construct a wide class of Vaisman manifolds.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 동형 Kähler 다양체에 대해 비틀린 해밀턴 군 작용을 이용한 일관된 감소 절차를 정의하기.
• 제안된 감소와 비공개된 Biquard-Gauduchon 몫 구성 간의 동치성을 증명하기.
• LCK 감소와 기본 덮개의 켈러 감소 간의 호환성, 특히 Vaisman 경우에서의 관계를 확립하기.
• LCK 감소와 Sasaki 감소 간의 호환성을 입증하여 Sasaki 몫으로부터 새로운 Vaisman 다양체를 구성하기.
• 이론을 적용하여 렌즈 공간, 구의 곱, 복소 사영 공간과 S¹의 곱과 동형인 다양체를 포함한 광범위한 Vaisman 다양체의 클래스를 생성하기.

제안 방법

• Vaisman(1985)의 비틀린 해밀턴 작용 개념을 활용하여 국소적으로 동형 Kähler 자기동형사의 작용에 대한 운동량 맵을 도입한다.
• 자유이고 적절한 작용을 하는 운동량 맵의 수준집합을 몫으로 취하여 LCK 다양체의 감소를 구성한다.
• 원래 LCK 다양체 위의 복소 구조가 몫에 내림내림하여 LCK 구조를 유지함을 보인다.
• 기본 덮개의 켈러 감소와 LCK 감소를 연결하기 위해 기본 덮개가 동치 켈러 구조를 지닌다는 것을 보여준다.
• 콘 구조를 통해 Sasaki 다양체에 감소 절차를 적용하고, 구 위의 가중 S¹ 작용을 사용하여 몫을 생성한다.
• 수준집합 μ⁻¹(0)과 구의 곱 또는 복소 사영 공간 간의 미분동형성을 이용하여 감소된 Vaisman 다양체의 위상적 유형을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀린 해밀턴 군 작용을 이용해 국소적으로 동형 Kähler 다양체에 대해 일관된 운동량 맵 기반 감소를 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 감소가 LCK 설정에서 비공개된 Biquard-Gauduchon 몫 구성과 동치인가?
• RQ3 LCK 감소는 기본 덮개에서의 켈러 감소와 어떻게 관련되는가, 특히 Vaisman 경우에서 어떻게 되는가?
• RQ4 Sasaki 감소를 어떻게 변형하여 결과 몫에 Vaisman 구조를 생성할 수 있는가?
• RQ5 이 감소 절차를 통해 어떤 위상적 유형의 Vaisman 다양체를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 LCK 감소는 Biquard-Gauduchon 구성과 동치이며, 새로운 운동량 맵 접근법의 타당성을 입증한다.
• Vaisman 경우에서 기본 덮개의 감소(켈러 콘)는 켈러 감소에 대응하므로, 전반적이고 국소적 감소 절차 간의 강력한 호환성을 확립한다.
• 구 위의 가중 S¹ 작용의 Sasaki 감소는 구의 곱, 렌즈 공간, 또는 복소 사영 공간과 미분동형인 몰입을 얻는다.
• 한 개의 음수 및 나머지 양수의 가중치를 가질 경우 몰입 S(Λ)는 S²ⁿ⁻³와 미분동형이며, 두 개의 음수와 두 개의 양수 가중치를 가질 경우 S³×S³와 미분동형이다.
• n=4s일 때, (S⁴ˢ⁻¹×ℂℙ²ˢ⁻¹)×S¹ 위에 Vaisman 구조의 가중치 가중족을 생성하며, 기존의 예인 호프 표면과 렌즈 공간 번들의 일반화를 포함한다.
• 특수한 예로는 n=3일 때 L(p,1)×S¹ 위의 Vaisman 구조와 n=4일 때 S³×S²×S¹ 위의 Vaisman 구조가 있으며, 후자는 twistor 공간으로서 준켈러 구조를 갖는다.