[논문 리뷰] Locally potentially equivalent Galois representations

Vijay M. Patankar, C. S. Rajan|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 전역체 위에서 두 개의 연속적이고 반단순적인 ℓ-진 갈루아 표현이 충분히 큰 수의 자리들에서 국소적으로 잠재적으로 동치이면, 전역적으로도 잠재적으로 동치임을 입증한다. 특히, 이러한 자리들의 상한 밀도가 표현들의 대수적 모노드로미 군의 연결 성분 수에 따라 정해지는 임계값을 초과할 경우에 성립한다. 이 결과는 모듈러 형식에 적용되며, 두 개의 비-CM 신형식이 양의 밀도를 가진 소수들에서 서로 다른 거듭수로 올린 특성값이 일치할 경우, 그들 사이에 딜리클레 특성에 의한 트위스트 관계가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

We show that if two continuous semi-simple \(\ell \)-adic Galois representations are locally potentially equivalent at a sufficiently large set of places then they are globaly potentially equivalent. We also prove an analogous result for arbitrarily varying powers of character values evaluated at the Frobenius conjugacy classes. In the context of modular forms, we prove: given two non-CM newforms $f$ and $g$ of weight at least two, such that $a_p(f)^{n_p}=a_p(g)^{n_p}$ on a set of primes of positive upper density and for some set of natural numbers $n_p$, then $f$ and $g$ are twists of each other by a Dirichlet character.

연구 동기 및 목표

• 큰 수의 자리들에서 국소적 잠재적 동치 조건을 바탕으로 ℓ-진 갈루아 표현의 전역적 잠재적 동치를 확립하는 것.
• 모듈러 형식에서 특성값 일치 결과를 고정된 거듭수에서 임의의 거듭수로 일반화하고, 양의 상한 밀도를 가진 소수 집합에 대해 적용하는 것.
• 체보타레프 밀도 정리의 일반화를 재구성하여, 재구성된 대수적 군에서 프로베누스 공轭류의 제곱에 대한 조건을 자리를 통해 제안하는 것.
• 양의 밀도를 가진 소수 집합에서 고유값 거듭수의 일치를 보이는 두 개의 비-CM 신형식이 딜리클레 특성에 의한 트위스트 관계를 가짐을 증명하는 것.

제안 방법

• 갈루아 표현과 관련된 대수적 모노드로미 군을 이용하여 국소 데이터로부터 전역적 구조를 분석하는 것.
• 체보타레프 밀도 정리의 대수적 형태를 적용하여 프로베누스 공轭류와 모노드로미 군 내의 자리를 연결하는 것.
• 콤���트 군의 특성의 수직관계를 활용하여 표현 간 동치성을 유도하는 것.
• 유한 확장으로의 기저 전환을 활용하여 문제를 연결된 대수적 군으로 단순화하는 것.
• 프로베누스 거듭수의 상이가 전체 모노드로미 군을 생성함을 보이기 위해 몫 표현을 구성하는 것.
• 유한지수 부분군으로의 제한을 통한 잠재적 동치 적용과 연결 성분에서의 특성 비교를 통한 분석

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서, 큰 수의 자리들에서 국소적 잠재적 동치가 ℓ-진 갈루아 표현에 대해 전역적 잠재적 동치를 유도하는가?
• RQ2 양의 밀도를 가진 소수 집합에서 임의로 변하는 거듭수로 특성값이 일치할 경우, 전역적 트위스트 동치가 성립하는가?
• RQ3 프로베누스 공轭류의 제곱이 전체 대수적 모노드로미 군을 생성하는 자리들의 최소 밀도 조건은 무엇인가?
• RQ4 체보타레프 밀도 정리는 어떤 정도로 재구성된 대수적 군에서 프로베누스 원소의 거듭수에 대해 일반화될 수 있는가?
• RQ5 양의 밀도를 가진 소수 집합에서 고유값 거듭수가 일치하는 두 개의 비-CM 신형식은 언제 서로의 트위스트로 나타나는가?

주요 결과

• 두 연속적이고 반단순적인 ℓ-진 갈루아 표현 $ \rho_1, \rho_2 $ 가 각각 대수적 모노드로미 군의 연결 성분 수 $ c_1, c_2 $ 에 대해 상한 밀도가 $ 1 - \frac{1}{c_1} $ 와 $ 1 - \frac{1}{c_2} $ 를 초과하는 자리들에서 국소적으로 잠재적으로 동치이면, 전역적으로도 잠재적으로 동치이다.
• 비-CM 신형식 $ f $ 에 대해, 그에 대응하는 $ \ell $-진 표현의 대수적 모노드로미 군은 $ GL_2 $ 이며, 이는 표현이 절대적으로 기약적이며 연결된 모노드로미 군을 가짐을 보장한다.
• 두 신형식 $ f $ 와 $ g $ 가 양의 상한 밀도를 가진 소수 집합에서 $ a_p(f)^{n_p} = a_p(g)^{n_p} $ 를 만족하고, 거듭수 $ n_p $ 가 변할 경우, $ g $ 는 $ f $ 를 딜리클레 특성에 의해 트위스트한 것이다.
• 비가역적 자리 집합 $ T $ 에서 상한 밀도를 가진 비분해성 자리들에서 $ \rho(\sigma_v)^{n_v} $ 가 생성하는 최소 대수적 부분군은, $ G $ 가 연결되어 있을 경우 전체 대수적 모노드로미 군 $ G $ 와 같다.
• 증명은 몫 표현 $ \rho_1 $ 가 기저 전환 후에 자명해지므로 $ G/G_T = \{1\} $ 가 되고, 따라서 $ G_T = G $ 가 됨을 보여 기반을 확립한다.
• 상수 거듭수나 전체 밀도 조건을 가정하지 않아도 성립하며, 이는 이전 결과들에서 요구한 밀도 1과 상수 거듭수 조건을 일반화한 것이다.