[논문 리뷰] Log Diameter Rounds Algorithms for $2$-Vertex and $2$-Edge Connectivity

Alexandr Andoni, Clifford Stein외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무방향 그래프에서 2-edge 및 2-vertex 연결성에 대해 완전히 스케일러블인 MPC 알고리즘을 제시하며, 각각 O(log D log log(m/n) n) 및 O(log D log² log(m/n) n + log D′ log log(m/n) n)의 병렬 시간을 달성한다. 여기서 D는 그래프의 지름이고 D′는 이중 지름이다. 알고리즘은 트리 분해, LCA, RMQ 기법을 사용하여 그래프 지름에 상대적으로 하위 로그 라운드 내에서 다리와 이중연결 성분을 효율적으로 식별한다.

ABSTRACT

Many modern parallel systems, such as MapReduce, Hadoop and Spark, can be modeled well by the MPC model. The MPC model captures well coarse-grained computation on large data --- data is distributed to processors, each of which has a sublinear (in the input data) amount of memory and we alternate between rounds of computation and rounds of communication, where each machine can communicate an amount of data as large as the size of its memory. This model is stronger than the classical PRAM model, and it is an intriguing question to design algorithms whose running time is smaller than in the PRAM model. In this paper, we study two fundamental problems, $2$-edge connectivity and $2$-vertex connectivity (biconnectivity). PRAM algorithms which run in $O(\log n)$ time have been known for many years. We give algorithms using roughly log diameter rounds in the MPC model. Our main results are, for an $n$-vertex, $m$-edge graph of diameter $D$ and bi-diameter $D'$, 1) a $O(\log D\log\log_{m/n} n)$ parallel time $2$-edge connectivity algorithm, 2) a $O(\log D\log^2\log_{m/n}n+\log D'\log\log_{m/n}n)$ parallel time biconnectivity algorithm, where the bi-diameter $D'$ is the largest cycle length over all the vertex pairs in the same biconnected component. Our results are fully scalable, meaning that the memory per processor can be $O(n^δ)$ for arbitrary constant $δ>0$, and the total memory used is linear in the problem size. Our $2$-edge connectivity algorithm achieves the same parallel time as the connectivity algorithm of Andoni et al. (FOCS 2018). We also show an $Ω(\log D')$ conditional lower bound for the biconnectivity problem.

연구 동기 및 목표

• 기존의 PRAM 접근 방식보다 향상된 시간 복잡도를 갖는 MPC 모델에서 2-edge 및 2-vertex 연결성에 대해 완전히 확장 가능한 병렬 알고리즘을 설계하는 것.
• n이 아니라 그래프 지름 D와 이중 지름 D′에 따라 실행 시간이 의존하도록 하여, 지름이 작은 그래프에서 더 빠른 성능을 달성하는 것.
• 2-edge 연결성이 O(log D log log(m/n) n) 시간 내에 해결될 수 있음을 보여주며, MPC 모델에서 알려진 최고의 연결성 알고리즘과 동일한 성능을 달성하는 것.
• 이중 연결성에 대한 조건부 하한을 설정하여, 널리 받아들여진 one-cycle vs. two-cycles 추측이 참이라면 Ω(log D′) 시간이 필수적임을 보여주는 것.

제안 방법

• 랜덤화된 트리 분해 기법을 사용하여 지름이 최대 diam(G)^O(log log(m/n) n) 이내인 스패닝 트리를 구성하는 것.
• 트리 내에서 가장 낮은 공통 조상(LCA)을 계산하기 위해 선형 작업량과 O(log(dep(par))) 시간을 갖는 LCA 알고리즘을 서브루틴으로 사용하는 것.
• 범위 최소 질의(RMQ) 기법을 적용하여 다리를 식별하고, 이중연결 성분을 특정하는 것. 작은 부트리의 경우 국소적으로 처리하고, 더 큰 부트리는 특수화된 RMQ 데이터 구조를 통해 처리하는 것.
• MPC 모델이 임의의 δ > 0에 대해 각 머신에서 O(n^δ) 메모리를 사용할 수 있음을 활용하여, 총 공간이 O(m^{1+γ})이 되도록 하며, 이는 전체 확장성 보장에 기여하는 것.
• one-cycle vs. two-cycles 문제에서의 감소를 이용하여 이중 연결성에 대한 조건부 하한을 증명하며, 추측이 참이라면 Ω(log D′) 시간이 필수적임을 보여주는 것.
• 최종 단계에서 정렬, LCA 질의, 성분 레이블링을 조합하여 이중연결 성분을 식별하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MPC 모델에서 각 프로세서당 O(n^δ) 메모리 사용이 가능한 상황에서 2-edge 연결성이 O(log D log log(m/n) n) 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ2 이중 연결성이 D′가 이중 지름일 때 O(log D log² log(m/n) n + log D′ log log(m/n) n) 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ3 MPC 모델에서 이중 연결성에 대해 이중 지름 D′에 따라 조건부 하한이 존재하는가?
• RQ4 제안된 알고리즘이 완전히 확장 가능할 수 있는가? 즉, 임의의 δ > 0에 대해 각 머신에서 O(n^δ) 메모리 사용이 가능하고 총 메모리가 입력 크기 선형으로 유지되는가?

주요 결과

• 2-edge 연결성 알고리즘은 O(log D log log(m/n) n) 병렬 시간 내에 실행되며, 총 공간 복잡도가 O(m^{1+γ})로, MPC 모델에서 그래프 연결성에 대해 알려진 최고의 시간 복잡도와 일치한다.
• 이중 연결성 알고리즘은 O(log D log² log(m/n) n + log D′ log log(m/n) n) 시간 내에 실행되며, 동일한 총 공간 복잡도를 가지며 완전히 확장 가능하다.
• 논문은 조건부 하한을 설정하였으며, one-cycle vs. two-cycles 추측이 참이라면, 이중 연결성에 대한 어떤 MPC 알고리즘도 Ω(log D′) 시간이 필요하다고 보여준다.
• 두 알고리즘의 정확성은 높은 확률(이중 연결성의 경우 최소 0.97, 2-edge 연결성의 경우 최소 0.99)로 보장되며, 이는 랜덤화된 트리 구축 및 LCA/RMQ 서브루틴에 의존한다.
• 알고리즘은 완전히 확장 가능하며, 임의의 상수 δ > 0에 대해 각 머신에서 O(n^δ) 메모리 사용이 가능하고 총 메모리는 입력 크기 선형으로 유지된다.
• 트리 분해, LCA, RMQ 기법을 활용하여 기존에 알려진 효율적인 MPC 구현이 가능한 서브루틴으로 문제를 축소하는 접근 방식을 취한다.