[논문 리뷰] Long-Range Pairing in the Kitaev Model: Krylov Subspace Signatures

Rishabh Jha, Heiko Georg Menzler|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 11.

Quantum many-body systems인용 수 0

한 줄 요약

이 논문은 Krylov 부분공간 방법에서의 Lanczos 계수가 정확한 단일 입자 Lanczos 알고리즘을 통해 롱 레인지 키타에프 사슬의 최저 들뜸 갭이 경계에 국한된지 아니면 벌크 확장인지 진단한다.

ABSTRACT

Krylov subspace methods quantify operator growth in quantum many-body systems through Lanczos coefficients that encode how operators spread under time evolution. While these diagnostics have been proposed to distinguish quantum chaos from integrability, quadratic fermionic Hamiltonians are widely expected to exhibit trivial Lanczos structure. Here we demonstrate that Lanczos coefficients generated from local boundary operators provide a quantitative diagnostic of whether the lowest excitation gap is controlled by boundary-localized or bulk-extended modes in the long-range Kitaev chain, the model for topological superconductivity with algebraically decaying couplings. We introduce $Krylov$ $staggering$ $parameter$, defined as the logarithmic ratio of consecutive odd and even Lanczos coefficients, whose sign structure correlates robustly with the edge versus bulk character of the gap across the full phase diagram. This correlation arises from a bipartite Krylov structure induced by pairing, power-law couplings, and open boundaries. We derive an exact single-particle operator Lanczos algorithm that reduces the recursion from exponentially large operator space to a finite-dimensional linear problem, achieving machine precision for chains of hundreds of sites. These results establish Krylov diagnostics as operational probes of how low-energy excitations are localized along the chain and how strongly they are tied to the boundaries with broken U(1) symmetry, with potential applications to trapped-ion and cold-atom quantum simulators.

연구 동기 및 목표

• 이차 페르미언 모델에서 저에너지 들뜸을 경계에 국한된 것과 벌크 확장된 것을 구분하기 위한 연산자 성장 진단의 필요성을 제시한다.
• 대형 사슬에 대해 기계 정밀도를 보존하는 정확한 단일 입자 Lanczos 프레임워크를 개발한다.
• Krylov 계수와 그 홀수-짝수 교대가 위상 다이어그램 전체에서 경계-벌크 특성을 나타낸다.

제안 방법

• 홉과 짝지기의 대수적 감소를 갖는 롱 레인지 키타에프 체인을 형식화한다.
• 양자화된 구조를 노출하기 위해 Bogoliubov-de Gennes 및 Majorana 표현으로 변환한다.
• 재귀를 유한 차원 선형 문제로 축소하는 정확한 단일 입자 연산자 Lanczos 알고리즘을 도출한다 (L_sp = i H_M).
• Hermitian 시드에 대해 대각 Lanczos 계수가 0이 됨을 보여주며 순전히 비대각 Krylov 체를 얻는다.
• Krylov 교대 매개변수 eta_n = ln(b_{2n-1}/b_{2n})를 정의하고 그것의 부호 구조를 진단으로 분석한다.
• BdG 스펙트럼과 경계 가중치를 통해 경계 vs 벌크 갭을 분류한 다음 Krylov 진단과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Krylov 부분공간 진단( Lanczos 계수를 통해) 가 롱 레인지 키타에프 체인의 경계에 국한된 저에너지 들뜸과 벌크 확장 들뜸을 구분할 수 있는가?
• RQ2 정확한 단일입자 Lanczos 형식이 롱레인지 짝지기와 열린 경계가 연산자 성장에 미치는 영향을 포착하는가?
• RQ3 홀수/짝수 Lanczos 계수의 교대가 위상다이어그램 전반에서 경계 우세한 갭과 벌크 우세한 갭 구간과 어떻게 상관관계가 있는가?

주요 결과

• 경계 시드에서의 Lanczos 계수는 최저 들뜸이 경계 국한된 것인지 벌크 확장된 것인지를 정량적으로 진단한다.
• 페어링, 거듭제곱 법칙 결합, 열린 경계로 인해 실수형 이분 Krylov 구조가 형성되어 특징적인 eta_n 부호 패턴을 이끈다.
• 정확한 단일 입자 Lanczos 알고리즘은 재귀를 2N 차원 선형 문제로 축소하여 수백 개의 사이트를 가진 사슬에 대해 기계 정밀도 결과를 가능하게 한다.
• Krylov 교대 매개변수 eta_n 은 경계 갭 위상에서 부호를 바꾸고 벌크 갭 위상에서는 고정 부호를 유지하여 위상 다이어그램 전반에서 경계 대 벌크 특성과 상관관계를 보인다.
• BdG 스펙트럼에 기반한 경계-벌크 분류는 전체 위상 다이어그램에 걸쳐 동적 Krylov 공간 진단과 일치한다.