[论文解读] Lorentzian varifolds and applications to closed relativistic strings

Giovanni Bellettini, Matteo Novaga+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文引入洛伦兹流形作为研究闵可夫斯基时空中的闭合相对论性弦的广义框架，将阿姆格伦的流形理论推广至洛伦兹设定。它建立了静止洛伦兹流形的存 在性、紧致性与闭包性质，这些流形包括经典和亚相对论性弦，并允许能量与动量等守恒量的存在。

ABSTRACT

We develop a suitable generalization of Almgren's theory of varifolds in a lorentzian setting, focusing on area, first variation, rectifiability, compactness and closure issues. Motivated by the asymptotic behaviour of the scaled hyperbolic Ginzburg-Landau equations, and by the presence of singularities in lorentzian minimal surfaces, we introduce, within the varifold class, various notions of generalized minimal timelike submanifolds of arbitrary codimension in flat Minkowski spacetime, which are global in character and admit conserved quantities, such as relativistic energy and momentum. In particular, we show that stationary lorentzian 2-varifolds properly include the class of classical relativistic and subrelativistic strings. We also discuss several examples.

研究动机与目标

• 开发基于流形的框架，用于研究闵可夫斯基时空中的洛伦兹最小曲面方程的弱解。
• 通过引入广义的、参数无关的解，解决相对论性弦中的奇点问题。
• 将零（光锥）部分与非σ-有限测度纳入流形理论，以捕捉双曲Ginzburg-Landau方程解的极限。
• 通过在紧化格拉斯曼流形上定义流形，确保在弱收敛下具有紧致性与闭包性。
• 定义静止洛伦兹流形，以推广经典相对论性与亚相对论性弦，并支持能量与动量等守恒量。

提出的方法

• 通过在闵可夫斯基时空背景下重新定义面积、第一变分与可 rectifiable 性，将阿姆格伦的流形理论推广至洛伦兹设定。
• 引入两种概念——可 rectifiable 流形与弱可 rectifiable 流形，以包含零部分与非σ-有限测度，尤其适用于双曲Ginzburg-Landau解的极限。
• 在时向h-平面的格拉斯曼流形的紧化上定义流形，以在切平面退化序列存在时恢复紧致性。
• 利用Radon测度的分解定理，将流形分解为原子、连续与奇异部分，从而实现对非σ-有限Hausdorff型测度的分析。
• 应用广义的Radon-Nikodým定理处理非σ-有限测度，尤其在正h维测度的零集背景下。
• 通过第一变分条件建立平稳性，确保在广义解类中相对论性能量与动量的守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将阿姆格伦的流形理论适配至洛伦兹设定，以描述洛伦兹最小曲面方程的弱解？
• RQ2 何种广义流形类可捕捉双曲Ginzburg-Landau方程解的渐近极限，包括具有奇点与零部分的解？
• RQ3 尽管时向平面的格拉斯曼流形非紧致，能否为静止洛伦兹流形建立紧致性与闭包性质？
• RQ4 在广义流形框架中，如何严格定义并保持能量与动量等守恒量？
• RQ5 非σ-有限测度与连续部分在弱解描述中起何作用，尤其在正测度的零子集存在时？

主要发现

• 静止洛伦兹2-流形类正确包含了经典与亚相对论性弦，为弱解提供了更广的类。
• 引入弱可 rectifiable 流形使得能量集中在正h维测度的零子集上的解得以包含。
• 通过在紧化格拉斯曼流形上定义流形，恢复了流形序列的紧致性，即使在切平面退化时也能实现收敛结果。
• 广义的Radon-Nikodým定理允许将测度分解为绝对连续、奇异与连续部分，对处理非σ-有限Hausdorff测度至关重要。
• 在一维静止流形中，在较弱的支撑条件下，可 rectifiable 与弱可 rectifiable 性一致，验证了低维情形下定义的合理性。
• 分解定理确保流形可沿基空间分解为纤维测度，从而实现对局部几何与物理性质的分析。