[논문 리뷰] Low Ambiguity in Strong, Total, Associative, One-Way Functions

Christopher M. Homan|ArXiv.org|2000. 10. 02.

Coding theory and cryptography참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 강력하고 전체적이며 결합법칙을 만족하는 일방함수(AOWFs)의 모호성에 대해 연구하며, 표준적인 모호성이 없는 일방함수가 존재한다면, O(n)-to-one 모호성을 가진 이러한 AOWFs를 구성할 수 있음을 증명한다. 이는 합리적인 상한을 제공한다. 또한 n^O(1)-to-one AOWFs가 존재하는 것은 P ≠ FewP와 동치이며, Σ*×Σ*→Σ*에서 O(1)-to-one 전체적이고 결합법칙을 만족하는 함수는 존재하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

Rabi and Sherman present a cryptographic paradigm based on associative, one-way functions that are strong (i.e., hard to invert even if one of their arguments is given) and total. Hemaspaandra and Rothe proved that such powerful one-way functions exist exactly if (standard) one-way functions exist, thus showing that the associative one-way function approach is as plausible as previous approaches. In the present paper, we study the degree of ambiguity of one-way functions. Rabiand Sherman showed that no associative one-way function (over a universe having at least two elements) can be unambiguous (i.e., one-to-one). Nonetheless, we prove that if standard, unambiguous, one-way functions exist, then there exist strong, total, associative, one-way functions that are $\mathcal{O}(n)$-to-one. This puts a reasonable upper bound on the ambiguity.

연구 동기 및 목표

• 암호학적 가정 하에 강력하고 전체적이며 결합법칙을 만족하는 일방함수(AOWFs)의 최소 가능한 모호성(즉, 전역의 크기)을 결정하는 것.
• 알고리즘적 구조와 복잡도 이론이 부과하는 본질적 하한과 알려진 모호성 상한 사이의 격차를 메우는 것.
• 모호성이 유한한 AOWFs의 존재성과 FewP 및 P와 같은 복잡도 클래스 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 특히 일정한-to-one 사상에 관해 구조적 제약을 갖는 전체적이고 결합법칙을 만족하며 재귀적인 함수의 구조적 제약을 탐구하는 것.

제안 방법

• 임의의 비내림차순이며 비유계이고 재귀적인 g: ℕ → ℕ에 대해, 재귀적 인코딩과 다중집합 기반 조합을 사용하여 g(n)-to-one, 전체적이고 결합법칙을 만족하며 교환법칙을 만족하고 재귀적인 함수의 가족을 구성한다.
• 함수 출력의 성장률과 전역 수의 성장률을 바탕으로 모순을 이용한 증명을 통해, Σ*×Σ*→Σ*에서 전체적이고 결합법칙을 만족하는 함수가 O(1)-to-one일 수 없음을 증명한다.
• 결합법칙에 의한 출력 길이의 로그 성장 상한을 이용해 모호성의 하한을 유도하며, 특정한 급격히 증가하는 g에 대해 모호성이 o(g(n))-to-one일 수 없음을 보여준다.
• 복잡도 이론적 감소를 활용: 비균일한 일방함수에서의 구성에 의해, n^O(1)-to-one AOWFs의 존재성과 P ≠ FewP가 동치임을 증명한다.
• 다중집합 이미지 수 세기와 기수론적 추론(‖σ⁻¹(s)‖)을 사용하여 다양한 문자열 길이에서 전역 집합과 그 크기를 분석한다.
• f(n) = ⌈2 log n⌉^{l^{⌈log n⌉}}를 정의하고, 이를 역함수로 하는 성장 임계값 g(n)을 도입하며, 모호성이 o(g(n))-to-one일 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강력하고 전체적이며 결합법칙을 만족하는 일방함수는 낮은 모호성으로 구성될 수 있는가? 그리고 그 모호성의 가장 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ2 n^O(1)-to-one 강력하고 전체적이며 결합법칙을 만족하는 일방함수의 존재성에 대해 복잡도론적 특성화가 가능한가?
• RQ3 Σ*×Σ*→Σ*에서 O(1)-to-one 전체적이고 결합법칙을 만족하며 재귀적인 함수가 존재하는가? 만약 존재하지 않는다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 출력 길이가 입력 길이에 다항적으로 유 bounds된 모든 전체적이고 결합법칙을 만족하는 함수에 대해, 최소한의 모호성은 무엇인가?
• RQ5 자연스러운 가정 하에 강력하고 전체적인 AOWFs의 모호성이 어떤 다항함수보다 더 빠르게 증가하는 함수로 하한이 존재하는가?

주요 결과

• 표준적인 모호성이 없는 일방함수가 존재한다면, O(n)-to-one 모호성을 가진 강력하고 전체적이며 결합법칙을 만족하는 일방함수가 존재함을 보여주며, 이는 모호성에 대한 합리적인 상한을 제공한다.
• n^O(1)-to-one 강력하고 전체적이며 결합법칙을 만족하는 일방함수의 존재성은 P ≠ FewP와 동치이다.
• Σ*×Σ*→Σ*에서 O(1)-to-one 전체적이고 결합법칙을 만족하며 재귀적인 함수는 존재하지 않으며, 이는 기본적인 구조적 제약를 나타낸다.
• 모든 비내림차순이며 비유계이고 전체적이며 재귀적인 함수 g: ℕ → ℕ에 대해, g(n)-to-one, 전체적이고 결합법칙을 만족하며 교환법칙을 만족하고 재귀적인 함수가 Σ*×Σ*→Σ*에 존재한다.
• 모든 전체적이고 결합법칙을 만족하는 함수 σ: Σ*×Σ*→Σ*에 대해, 출력 길이가 입력 길이에 대해 다항적으로 유 bounds되어 있다면, 모호성이 o(g(n))-to-one일 수 없으며, 여기서 g는 f(n) = ⌈2 log n⌉^{l^{⌈log n⌉}}를 만족하는 f의 역함수이다 (l > 1).
• 모호성의 하한은 초다항적이며, 모든 다항함수보다 더 빠르게 증가하므로, 자연스러운 제약 조건 하에 강력하고 전체적인 AOWFs는 다항함수보다 더 작은 모호성을 가질 수 없다.