[论文解读] Low rank approximations of symmetric polynomials and asymptotic counting of contingency tables

Alexander Barvinok|ArXiv.org|Mar 8, 2005

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文提出一种基于概率的方法，通过将计数表示为具有指数分布条目的随机矩阵的期望永久值，来近似给定行和与列和的 $m \times n$ 列联表的数量。当行和与列和有界时，证明该估计器的方差足够小，可得到多项式时间近似方案（PTAS），并建立对称多项式可由低秩幂和高效近似，从而在行和有界的情况下实现亚指数时间算法。

ABSTRACT

We represent the number of mxn non-negative integer matrices (contingency tables) with prescribed row sums and column sums as the expected value of the permanent of a non-negative random matrix with exponentially distributed entries. We bound the variance of the obtained estimator, from which it follows that if the row and column sums are bounded by a constant fixed in advance, we get a polynomial time approximation scheme for counting contingency tables. We show that the complete symmetric polynomial of a fixed degree in n variables can be epsilon-approximated coefficient-wise by a sum of powers of O(log n) linear forms, from which it follows that if the row sums (but not necessarily column sums) are bounded by a constant, there is a deterministic approximation algorithm of m^{O(log n)} complexity to compute the logarithmic asymptotic of the number of tables.

研究动机与目标

• 开发用于计数具有指定行和与列和的 $m \times n$ 列联表的高效近似算法。
• 解决当两个维度均增长时，特别是当和为中等大小时，精确计数的计算困难。
• 证明对称多项式可由低秩的线性形式幂和高效近似，从而实现高效计算。
• 在行和与列和有界时，建立多项式时间近似方案（PTAS）。
• 推导出当仅行和有界时，计算对数渐近的确定性 $m^{O(\log n)}$-时间算法。

提出的方法

• 将列联表数量表示为具有独立同分布指数分布条目的随机矩阵的永久值的期望。
• 使用多项式内积表达所需系数为内积矩阵的永久值。
• 通过比较 $\mathbb{E}[\alpha^2]$ 与 $\mathbb{E}[\alpha]^2$ 中的项，界定估计器的方差，证明其比值至多为 $2^{2N}$。
• 证明当所有 $r_i, c_j \leq \rho$ 时，表的数量可被近似到小的相对误差内，从而得到 PTAS。
• 利用指数矩的性质，将固定次数的完全对称多项式 $h_r$ 用 $O(\log n)$ 个线性形式的幂和 $\epsilon$-近似。
• 利用单项式内积对应于内积矩阵的永久值这一事实，通过永久值实现高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 当行和与列和有界时，能否高效近似列联表的数量？
• RQ2 使用指数随机变量的基于永久值的列联表计数估计器的方差是多少？
• RQ3 固定次数的完全对称多项式能否通过线性形式的幂和高效近似？
• RQ4 对称多项式的低秩近似是否能导致计数列联表的亚指数时间算法？
• RQ5 当仅行和有界时，列联表对数计数的渐近行为是什么？

主要发现

• 当所有行和与列和均被常数 $\rho$ 有界时，所提出的估计器方差足够小，可得到计数列联表的多项式时间近似方案（PTAS）。
• 永久值估计器的方差相对于期望平方的比值被限制在 $2^{2N}$ 以内，确保了集中性。
• 对于固定次数 $r$，$n$ 个变量中的完全对称多项式 $h_r$ 可通过 $O(\log n)$ 个线性形式的幂和实现系数意义上的 $\epsilon$-近似。
• 若仅行和有界，则存在一个确定性算法，可在 $m^{O(\log n)}$ 时间内计算表数的对数渐近。
• 在边际有界条件下，列联表的数量渐近为 $\frac{N!}{r_1! \cdots r_m! \, c_1! \cdots c_n!} \exp\left(\frac{2}{N^2} \sum_{i,j} \binom{r_i}{2} \binom{c_j}{2}\right)$，相对误差为 $O(N^{-1})$。
• 该方法建立了对称多项式、永久值与指数矩生成函数之间的联系，通过低秩分解实现高效近似。